Потенциальное поле, Соленоидальное поле, Гармоническое поле, Потенциал
Все векторные поля делятся на три класса. Потенциальное (безвихревое) поле: rot F = 0, существует скалярный потенциал φ, такой что F = ∇φ. Соленоидальное (трубчатое) поле: div F = 0, линии поля замкнуты, нет источников и стоков. Гармоническое поле: одновременно потенциально и соленоидально (rot F = 0, div F = 0), его потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа Δφ = 0. ИДЗ 15.2 Рябушко учит определять тип поля по заданному вектору F, восстанавливать потенциал для потенциального поля, находить вектор-потенциал для соленоидального и проверять гармоничность. Первое задание - вычислить rot и div, определить тип. Второе - найти потенциал (если поле потенциально). Третье - найти вектор-потенциал (если соленоидально). Четвёртое - проверить условие гармоничности. Классификация полей завершает тему теории поля из ИДЗ 15.1.
Поле F = (P,Q,R) потенциально, если rot F = 0. Для плоского поля: ∂Q/∂x = ∂P/∂y. Для пространственного: ∂R/∂y = ∂Q/∂z, ∂P/∂z = ∂R/∂x, ∂Q/∂x = ∂P/∂y. Потенциал φ находят из системы: ∂φ/∂x = P, ∂φ/∂y = Q, ∂φ/∂z = R. Метод: интегрируют P по x: φ = ∫P dx + C(y,z). Затем C(y,z) находят из ∂φ/∂y = Q: ∂C/∂y = Q - ∂/∂y(∫P dx). Интегрируют по y: C(y,z) = ∫(...) dy + D(z). Затем D(z) находят из ∂φ/∂z = R. Пример: F = (y², 2xy + z², 2yz). Проверка: ∂P/∂y = 2y, ∂Q/∂x = 2y ✓; ∂P/∂z = 0, ∂R/∂x = 0 ✓; ∂Q/∂z = 2z, ∂R/∂y = 2z ✓. rot = 0, поле потенциально. φ = ∫y² dx = xy² + C(y,z). ∂φ/∂y = 2xy + C'_y = 2xy + z², C'_y = z², C = yz² + D(z). φ = xy² + yz² + D(z). ∂φ/∂z = 2yz + D'_z = 2yz, D'_z = 0, D = const. Ответ: φ = xy² + yz² + C. Проверка: ∇φ = (y², 2xy + z², 2yz) = F. Потенциал определяется с точностью до константы.
Поле F соленоидально, если div F = 0: ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = 0. Физический смысл - отсутствие источников: сколько линий поля входит в область, столько и выходит. Поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Для соленоидального поля существует вектор-потенциал A = (A_x, A_y, A_z), такой что F = rot A. Нахождение A: полагают одну компоненту равной нулю (например, A_z = 0), тогда из F = rot A получают: ∂A_y/∂z = P, -∂A_x/∂z = Q, ∂A_y/∂x - ∂A_x/∂y = R. Первые два уравнения интегрируют: A_y = ∫P dz + C₁(x,y), A_x = -∫Q dz + C₂(x,y). Затем C₁, C₂ находят из третьего уравнения. Пример: F = (y, -x, 0). div F = 0 + 0 + 0 = 0 - соленоидально. Полагаем A_z = 0. ∂A_y/∂z = y → A_y = yz + C₁(x,y). -∂A_x/∂z = -x → A_x = xz + C₂(x,y). Из третьего: ∂A_y/∂x - ∂A_x/∂y = ∂C₁/∂x - ∂C₂/∂y = R = 0. Выбираем C₁ = C₂ = 0. Вектор-потенциал: A = (xz, yz, 0). Проверка: rot A = (y, -x, 0) = F. Аналог вектор-потенциала в физике - магнитный вектор-потенциал, через который выражается магнитное поле: B = rot A.
Гармоническое поле удовлетворяет двум условиям: rot F = 0 (потенциальность) и div F = 0 (соленоидальность). Тогда его потенциал φ удовлетворяет уравнению Лапласа: Δφ = ∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z² = 0. Функции, удовлетворяющие Δφ = 0, называются гармоническими. Пример: F = (x, -y, 0). Проверка: div F = 1 - 1 = 0 ✓. rot F = (0 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = 0 ✓. Поле гармоническое. Потенциал: φ = (x² - y²)/2 + C. Δφ = 1 - 1 = 0. Пример негармонического поля: F = (x, y, 0). div F = 2 ≠ 0 - не соленоидально, хотя rot = 0. Потенциал: φ = (x² + y²)/2. Δφ = 1 + 1 = 2 ≠ 0 - не гармонический. В физике: гравитационное поле в пустоте (Δφ = 0), электростатическое поле в отсутствие зарядов (Δφ = 0), поле скоростей идеальной несжимаемой жидкости при потенциальном течении - всё это примеры гармонических полей. Гармонические функции обладают свойством среднего: значение в центре сферы равно среднему по сфере.
Каждый вариант ИДЗ 15.2 содержит 4 задания. Первое - классификация поля: вычислить div F и rot F, определить, является ли поле потенциальным, соленоидальным, гармоническим или ни одним из них. Второе - для потенциального поля восстановить скалярный потенциал φ: проинтегрировать P по x, согласовать с Q и R. Третье - для соленоидального поля найти вектор-потенциал A: устранить неопределённость выбором калибровки (обычно A_z = 0). Четвёртое - проверка гармоничности: если поле одновременно потенциально и соленоидально, найти φ и проверить Δφ = 0. Для успешного выполнения нужно уверенно дифференцировать, интегрировать и решать простейшие системы ДУ в частных производных. Навыки дифференцирования из ИДЗ 6.1 и ИДЗ 10.1 здесь напрямую применяются.
В электродинамике: электрическое поле E = -∇φ (потенциальное), магнитное поле B = rot A (соленоидальное, так как div B = 0). Уравнения Максвелла в потенциалах: Δφ = -ρ/ε₀ (уравнение Пуассона), ΔA = -μ₀j (уравнение Пуассона для вектор-потенциала). В пустоте (ρ = 0, j = 0) оба поля гармонические. В гидродинамике: безвихревое течение идеальной жидкости: v = ∇φ, условие несжимаемости div v = 0 даёт Δφ = 0 - потенциал скорости гармонический. В гравитации: φ = -GM/r - гармоническая функция всюду, кроме точки r = 0. В теплопроводности: стационарное распределение температуры T удовлетворяет ΔT = 0 - поле градиента температуры гармоническое. Разложение сложных полей на потенциальную и соленоидальную составляющие (теорема Гельмгольца) - основа векторного анализа.
Стоимость одного варианта ИДЗ 15.2 - 70 руб. Выбираете нужный вариант из списка на сайте, формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен для скачивания сразу после оплаты. Решение содержит: вычисление дивергенции и ротора с пошаговым дифференцированием; определение типа поля (потенциальное, соленоидальное, гармоническое) с обоснованием; восстановление скалярного потенциала φ с проверкой ∇φ = F; нахождение вектор-потенциала A для соленоидального поля; проверку уравнения Лапласа для гармонических полей. Каждый этап расписан: какие условия проверены, как выбрана калибровка, как согласованы произвольные функции. Если что-то осталось непонятным - напишите в Telegram @idz_support, разберём детали.
rot F = 0. Существует скалярный потенциал φ: F = ∇φ. Работа не зависит от пути. Циркуляция по замкнутому контуру равна нулю.
div F = 0. Нет источников и стоков. Линии поля замкнуты. Поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Существует вектор-потенциал A: F = rot A.
rot F = 0 и div F = 0 одновременно. Потенциал φ удовлетворяет Δφ = 0. Примеры: гравитация в пустоте, электростатика без зарядов.
Скалярная функция φ, такая что F = ∇φ. Восстанавливается интегрированием P по x, согласованием с Q и R по частным производным.
Вектор A, такой что F = rot A. Существует для соленоидального поля. Определён с точностью до градиента произвольной функции (калибровка).
Δφ = ∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z² = 0. Определяет гармонические функции - потенциалы гармонических полей.
Любое векторное поле представимо в виде суммы потенциальной и соленоидальной составляющих: F = -∇φ + rot A. Разложение единственно.
Произвол в выборе вектор-потенциала: A' = A + ∇ψ даёт то же поле. Для однозначности накладывают условие div A = 0 (калибровка Кулона).
Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z². Скалярный дифференциальный оператор второго порядка. Δφ = div(grad φ).
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.