Область определения функции, Частные производные первого порядка, Частные дифференциалы, Полный дифференциал
Функции нескольких переменных - следующий шаг после обычных функций: теперь значение зависит не от одного аргумента, а от двух или трёх. В ИДЗ 10.1 Рябушко изучают четыре ключевых навыка: нахождение области определения (например, подкоренное выражение неотрицательно, знаменатель не равен нулю), вычисление частных производных первого порядка (по x при фиксированном y и наоборот), запись полного дифференциала (линейное приращение функции), а также дифференцирование сложных и неявно заданных функций. Эти приёмы - фундамент для всего анализа ФНП, включая ИДЗ 10.2.
Область определения z = f(x, y) - множество точек (x, y) на плоскости, в которых функция имеет смысл. Для степенных выражений следят за знаком под корнем и знаменателем, для логарифмов - за положительностью аргумента. Результат - область на плоскости, ограниченная линиями (окружностями, параболами, прямыми). Типичное задание: найти область, изобразить её на чертеже. Например, z = ln(4 − x² − y²) - круг радиуса 2 без границы (строгое неравенство), z = √(x + y) - полуплоскость вместе с границей. Умение строить такие области пригодится при расстановке пределов в двойных интегралах.
Частная производная ∂z/∂x - производная функции z(x, y) по x, при этом y считают константой. Аналогично ∂z/∂y - по y при фиксированном x. Правила дифференцирования те же, что для функций одной переменной: таблица производных, правило суммы, произведения, сложной функции. Пример: z = x²·sin y → ∂z/∂x = 2x·sin y, ∂z/∂y = x²·cos y. В ИДЗ 10.1 требуется вычислить обе частные производные первого порядка, записать частные дифференциалы (dz_x = ∂z/∂x·dx, dz_y = ∂z/∂y·dy) и полный дифференциал dz = ∂z/∂x·dx + ∂z/∂y·dy.
Если z = f(u, v), где u = u(x, y), v = v(x, y), то ∂z/∂x = ∂f/∂u·∂u/∂x + ∂f/∂v·∂v/∂x - цепное правило для частных производных. В ИДЗ 10.1 дают цепочку из двух-трёх промежуточных аргументов, нужно аккуратно применить правило и подставить значения в точке. Неявная функция задана уравнением F(x, y, z) = 0: ∂z/∂x = −F'_x / F'_z, ∂z/∂y = −F'_y / F'_z при условии F'_z ≠ 0. Эти формулы экономят время - не нужно выражать z явно, что часто невозможно.
В ИДЗ 10.1 четыре задания. Первое - область определения функции двух переменных: найти и изобразить. Второе - вычислить частные производные и полный дифференциал в заданной точке. Третье - производная сложной функции: дана цепочка z = f(u, v), u = u(x, y), v = v(x, y), найти ∂z/∂x и ∂z/∂y в точке. Четвёртое - производная неявной функции: дано уравнение F(x, y, z) = 0, найти ∂z/∂x, ∂z/∂y. Все задания проверяют понимание частных производных как основы дифференциального исчисления ФНП. Методы из ИДЗ 6.1 здесь работают напрямую, только с фиксацией одной из переменных.
Любая реальная величина зависит от нескольких факторов. Температура в комнате - от координат x, y, z и времени t (четыре переменных). Прибыль компании - от объёма производства, цены, рекламного бюджета. В экономике частные производные показывают чувствительность результата к изменению одного фактора при фиксированных остальных - это основа маржинального анализа. В физике градиент температуры указывает направление теплового потока. ИДЗ 10.1 учит работать с многомерными зависимостями - навык, без которого невозможен серьёзный анализ данных или физическое моделирование.
Выбираете вариант, формат PDF или Word, оплачиваете 80 ₽ картой, СБП или криптовалютой и получаете готовый файл. Решение содержит: область определения с пояснением и рисунком, частные производные первого порядка и полный дифференциал, дифференцирование сложной функции с цепным правилом, производную неявной функции. Каждое решение проверено - все шаги расписаны, ответы обоснованы, оформление подходит для сдачи преподавателю. Если что-то осталось непонятно, свяжитесь с нами через Telegram - @idz_support, объясним каждый шаг.
Множество точек, где функция имеет смысл. Ограничения: корень, знаменатель, логарифм.
∂z/∂x - производная по x при y = const. ∂z/∂y - производная по y при x = const.
dz_x = ∂z/∂x·dx, dz_y = ∂z/∂y·dy. Линейное приращение по каждому направлению.
dz = ∂z/∂x·dx + ∂z/∂y·dy. Главная линейная часть приращения функции.
Цепное правило: ∂z/∂x = ∂z/∂u·∂u/∂x + ∂z/∂v·∂v/∂x. Цепочки из 2–3 звеньев.
F(x, y, z) = 0 → ∂z/∂x = −F'_x / F'_z, ∂z/∂y = −F'_y / F'_z.
Вычисление через частные производные от F. Условие F'_z ≠ 0.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.