Касательная плоскость и нормаль к поверхности, Частные производные второго порядка, Смешанные производные, Экстремум функции двух переменных
Дифференцирование функции двух переменных открывает путь к геометрическим приложениям. В ИДЗ 10.2 Рябушко четыре направления: уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности (прямое применение частных производных первого порядка), частные производные второго порядка (включая смешанные - проверка равенства вторых производных), безусловный экстремум функции двух переменных и нахождение наибольшего и наименьшего значения в замкнутой области. Все задания - практическая проверка понимания того, как производные описывают поверхность в трёхмерном пространстве. Предварительно полезно освоить основы частных производных в ИДЗ 10.1.
Поверхность задана уравнением z = f(x, y). В каждой точке существует касательная плоскость - аналог касательной прямой для функции одной переменной. Её уравнение: (z − z0) = f'_x(x0, y0)(x − x0) + f'_y(x0, y0)(y − y0). Вектор нормали перпендикулярен этой плоскости, его компоненты - значения частных производных. Типовое задание: дана поверхность и точка, составить уравнение касательной плоскости и нормали. Геометрический смысл: касательная плоскость - лучшая линейная аппроксимация поверхности в окрестности точки. Метод из ИДЗ 10.1 по вычислению частных производных здесь применяется напрямую.
После первых производных берут вторые: ∂²z/∂x² (дважды по x), ∂²z/∂y² (дважды по y) и смешанные ∂²z/∂x∂y (сначала по x, потом по y) и ∂²z/∂y∂x (сначала по y, потом по x). Теорема Шварца утверждает: если смешанные производные непрерывны, они равны - это используют для проверки решений. В ИДЗ 10.2 встречается проверка уравнения Лапласа ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 - гармонические функции описывают стационарное распределение температуры, электростатический потенциал. Достаточно один раз продифференцировать дважды и подставить сумму в уравнение.
Экстремум функции z = f(x, y) - аналог максимума и минимума в многомерном случае. Необходимое условие: обе частные производные первого порядка равны нулю (критические точки). Достаточное условие: вычисляют вторые производные и дискриминант D = f''_xx·f''_yy − (f''_xy)². Если D > 0 и f''_xx > 0 - минимум, D > 0 и f''_xx < 0 - максимум, D < 0 - седловая точка (экстремума нет). Типовое задание: найти все критические точки, исследовать их, определить тип. Это центральная задача ИДЗ 10.2, требующая аккуратного дифференцирования и решения системы алгебраических уравнений.
Первое задание - уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке (проверка геометрического смысла частных производных). Второе - вычисление частных производных второго порядка и проверка уравнения Лапласа. Третье - полное исследование на экстремум: поиск критических точек, применение достаточного условия, определение типа. Четвёртое - наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области: сначала проверяют критические точки внутри, затем границу области (сводя задачу к одной переменной), сравнивают значения. Все задания требуют уверенного владения техникой дифференцирования из ИДЗ 10.1.
Когда нужно найти максимум или минимум не на всей плоскости, а в заданной замкнутой области (круг, прямоугольник, треугольник), процедура усложняется. Сначала находят критические точки внутри области - приравнивают частные производные к нулю. Затем исследуют границу: уравнение границы подставляют в функцию, получают функцию одной переменной и ищут её экстремум классическими методами. Из всех найденных значений выбирают наибольшее и наименьшее. В инженерных расчётах это типичная задача: найти максимальную нагрузку, минимальную стоимость, оптимальные размеры при ограничениях. ИДЗ 6.4 даёт навык исследования функции одной переменной на отрезке - он здесь пригождается при работе с границей.
Стоимость одного варианта - 70 ₽. Выбираете вариант из списка на сайте, указываете формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл готов к скачиванию. Решение содержит пошаговый разбор каждого задания - уравнение касательной плоскости и нормали с геометрической интерпретацией, вторые частные производные с проверкой уравнения Лапласа, полное исследование экстремума с расчётом дискриминанта, наибольшее и наименьшее значение с анализом границы. Каждое решение проверено - все шаги расписаны, ответы обоснованы, оформление соответствует типовым требованиям. Если сомневаетесь в выборе варианта или нужна консультация, напишите в Telegram - @idz_support, поможем разобраться.
Уравнение плоскости через частные производные первого порядка. Вектор нормали - градиент.
Производные от первых производных. ∂²z/∂x², ∂²z/∂y² - чистые второго порядка.
∂²z/∂x∂y и ∂²z/∂y∂x. Равны при непрерывности (теорема Шварца).
Критические точки: f'_x = 0, f'_y = 0. Достаточное условие через дискриминант D.
Критические точки внутри + граница. Сравнение значений, выбор экстремумов.
∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0. Проверка гармоничности функции, подстановка вторых производных.
Оптимизация, метод наименьших квадратов, максимальная прибыль, минимальная поверхность.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.