Работа выкачивания жидкости, Сила давления жидкости, Центр масс дуги кривой, Центр масс плоской фигуры
ИДЗ 9.3 Рябушко переводит определённый интеграл из геометрии в физику: работа выкачивания жидкости из резервуаров, сила давления на погружённую пластину, координаты центра масс кривой и фигуры. Общий принцип - метод элементарных слоёв: объект разбивается на тонкие горизонтальные слои, для каждого слоя записывается элементарная работа/сила/момент, затем суммированием (интегрированием) получается итог. Этот метод напрямую продолжает геометрические приложения из ИДЗ 9.2, но с физическим содержанием.
Резервуар заполнен жидкостью плотностью ρ, нужно выкачать её через верх. Элементарная работа по подъёму слоя на высоту h: dA = dm·g·h = ρ·dV·g·h. Объём элементарного слоя dV = S(y)·dy, где S(y) - площадь поперечного сечения на глубине y. Для цилиндра радиуса R и высоты H: A = ρg·∫_0^H πR²·(H − y) dy = ρg·πR²·H²/2. Для конуса: сечение меняется линейно с высотой - S(y) = π·(R·y/H)². Для пирамиды: S(y) = (a·y/H)². В каждом случае интеграл сводится к ∫ y² dy или ∫ (H − y)·y² dy.
Давление на глубине h: p = ρ·g·h. Сила давления на элементарную полоску пластины: dF = p·dS = ρ·g·h·b(h)·dh, где b(h) - ширина пластины на глубине h. Для прямоугольной пластины шириной a: F = ρg·∫_0^H a·h·dh = ρg·a·H²/2. Для треугольной пластины: ширина меняется линейно b(h) = a·(H − h)/H. Для круглой вертикальной пластины: b(h) = 2·√(R² − (h − R)²). Во всех задачах интеграл даёт многочлен от h - никаких сложных преобразований, только аккуратность в составлении b(h).
Координаты центра масс дуги кривой: x_c = (1/L)·∫_a^b x·√(1 + (y')²) dx, y_c = (1/L)·∫_a^b y·√(1 + (y')²) dx, где L - длина дуги. Для плоской фигуры: x_c = (1/S)·∫∫ x·dx·dy, y_c = (1/S)·∫∫ y·dx·dy, что через повторные интегралы сводится к x_c = (1/S)·∫_a^b x·(f₁ − f₂) dx, y_c = (1/(2S))·∫_a^b (f₁² − f₂²) dx. В ИДЗ 9.3 чаще встречается центр масс дуги - требуется вычислить длину дуги (из ИДЗ 9.2) и статические моменты.
В ИДЗ 9.3 три задания. Первое - работа выкачивания жидкости: дан резервуар (цилиндр, конус, пирамида, усечённый конус), его размеры и плотность жидкости; нужно составить интеграл элементарной работы и вычислить. Второе - сила давления жидкости на вертикальную пластину: дана форма пластины (прямоугольник, треугольник, круг, трапеция), глубина погружения; составить b(h) и проинтегрировать. Третье - координаты центра масс однородной дуги или фигуры. В каждом задании ответ - число с точностью до 0,01. Все вычисления сводятся к интегралам от многочленов - техника из ИДЗ 9.1.
Расчёт работы насоса при откачке воды из котлована - задача из ИДЗ 9.3. Проектирование плотины: сила давления воды на стенку определяет толщину бетона. Расчёт центра масс детали - основа для балансировки роторов и маховиков. В судостроении: сила давления на корпус подводной части. В нефтянке: работа по подъёму нефти из скважины. ИДЗ 9.3 - не абстрактная математика, а готовый инструмент для инженерных расчётов, где интеграл заменяет суммирование по бесконечно малым слоям.
Цена - 60 ₽. Выбираете вариант, указываете PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен для скачивания мгновенно. Решение содержит пошаговый разбор каждого задания: схема резервуара или пластины, составление элементарного слоя, запись интеграла, вычисление с округлением до 0,01. Каждое решение проверено - все шаги расписаны, ответы обоснованы, оформление подходит для сдачи преподавателю. Если сомневаетесь в выборе варианта или нужна консультация, напишите в Telegram - @idz_support, поможем разобраться.
A = ∫ ρ·g·(H − y)·S(y) dy. Элементарный слой, площадь сечения резервуара.
F = ∫ ρ·g·h·b(h) dh. Давление на глубине, ширина пластины на каждом уровне.
x_c = (1/L)·∫ x·dL, y_c = (1/L)·∫ y·dL. Статические моменты, длина дуги.
x_c = (1/S)·∫ x·(f₁−f₂) dx, y_c = (1/(2S))·∫ (f₁²−f₂²) dx.
Метод элементарных слоёв: разбиение на тонкие элементы, суммирование интегрированием.
Разбить объект на горизонтальные слои, записать dA/dF для каждого, проинтегрировать по высоте.
F = ρ·g·∫_a^b h·b(h) dh. b(h) - ширина пластины на глубине h.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.