Площадь криволинейной трапеции, Площадь в полярных координатах, Длина дуги кривой, Длина дуги в параметрической форме
ИДЗ 9.2 Рябушко - первая часть приложений определённого интеграла, полностью посвящённая геометрии. Площадь фигуры в декартовых, полярных и параметрических координатах, длина дуги кривой, объём и площадь поверхности тела вращения - четыре типа задач, каждая со своей формулой, но все на одном принципе: разбить объект на бесконечно малые элементы и просуммировать (проинтегрировать). В отличие от ИДЗ 9.1, где интеграл был целью, здесь он - инструмент: нужно не просто вычислить, а сначала составить формулу по геометрическому смыслу задачи.
В декартовых координатах площадь между кривыми: S = ∫_a^b |f₁(x) − f₂(x)| dx. Если фигура ограничена сверху и снизу двумя функциями, интегрируют разность. В параметрической форме: S = ∫_{t₁}^{t₂} y(t)·x'(t) dt. Пример: площадь эллипса x = a·cos t, y = b·sin t → S = 4·∫_0^{π/2} b·sin t·(−a·sin t) dt = πab. В полярных координатах: S = (1/2)·∫_{α}^{β} r(φ)² dφ. Пример: кардиоида r = a·(1 + cos φ) → S = (3/2)·πa². Выбор координат зависит от формы - полярные удобны для роз, лемнискат и спиралей.
Длина дуги плоской кривой в декартовых координатах: L = ∫_a^b √(1 + (y')²) dx. В параметрической форме: L = ∫_{t₁}^{t₂} √((x'(t))² + (y'(t))²) dt. В полярных: L = ∫_{α}^{β} √(r² + (r')²) dφ. Пример: длина одной арки циклоиды x = a·(t − sin t), y = a·(1 − cos t) → L = 8a. Для астроиды x = a·cos³ t, y = a·sin³ t → L = 6a. В ИДЗ 9.2 длина дуги - самое частое задание после площади, требует аккуратного упрощения корня из суммы квадратов производных.
Если кривую y = f(x) вращать вокруг оси OX, объём: V_x = π·∫_a^b f(x)² dx (метод дисков - поперечные сечения - круги). Вокруг OY: V_y = 2π·∫_a^b x·f(x) dx (метод цилиндрических оболочек). Для фигуры между двумя кривыми: V = π·∫_a^b (f₁² − f₂²) dx. Пример: объём шара вращением полуокружности y = √(R² − x²) вокруг OX → V = π·∫_{-R}^{R} (R² − x²) dx = (4/3)·πR³. В параметрическом виде - через замену переменной интегрирования.
В ИДЗ 9.2 четыре задания. Первое - площадь фигуры: даны две-три линии, найти площадь между ними (декартовы координаты). Второе - длина дуги кривой: может быть в декартовой или параметрической форме. Третье - объём тела вращения вокруг оси координат. Четвёртое - площадь поверхности вращения: S = 2π·∫_a^b f(x)·√(1 + (f'(x))²) dx. Ответ в каждом - действительное число с точностью до 0,01. Все формулы основаны на определённом интеграле из ИДЗ 9.1.
Площадь поверхности купола здания - это поверхность вращения арки. Объём бака или цистерны - тело вращения. Длина дуги моста или арки рассчитывается через интеграл длины дуги. В астрономии площадь эллипса (орбиты планет) - это площадь фигуры, ограниченной эллипсом. Объём эллипсоида вращения (форма Земли) - тело вращения эллипса. ИДЗ 9.2 даёт инструмент для всех таких расчётов: от строительства до космической механики.
Стоимость одного варианта - 60 ₽. Выбираете вариант из списка на сайте, указываете формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл готов к скачиванию. Решение содержит пошаговый разбор каждого задания: построение чертежа (или описание фигуры), составление интеграла по соответствующей формуле, вычисление с округлением до 0,01. Каждое решение проверено - все шаги расписаны, ответы обоснованы. По любым вопросам - @idz_support, отвечаем в течение дня.
S = ∫_a^b |f₁(x) − f₂(x)| dx. Площадь между двумя кривыми в декартовых координатах.
S = (1/2)·∫_{α}^{β} r(φ)² dφ. Площадь фигуры, ограниченной кривой r = r(φ).
L = ∫ √(1 + (y')²) dx (декартовы); L = ∫ √(x'² + y'²) dt (параметрические); L = ∫ √(r² + r'²) dφ (полярные).
L = ∫_{t₁}^{t₂} √((x'(t))² + (y'(t))²) dt. Циклоида, астроида, эллипс.
L = ∫_{α}^{β} √(r(φ)² + r'(φ)²) dφ. Спираль Архимеда, кардиоида.
V_x = π·∫ f(x)² dx. V_y = 2π·∫ x·f(x) dx. Диски и оболочки.
S = 2π·∫_a^b f(x)·√(1 + (f'(x))²) dx. Вращение графика вокруг оси.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.