Формула Ньютона-Лейбница, Замена переменной в определённом интеграле, Интегрирование по частям в определённом интеграле, Рациональные функции
Определённый интеграл отличается от неопределённого не только наличием верхнего и нижнего предела, но и тем, что результат - число, а не семейство функций. В ИДЗ 9.1 Рябушко студенты учатся применять формулу Ньютона-Лейбница (F(b) − F(a)), где F - первообразная, найденная методами ИДЗ 8.3 или ИДЗ 8.4. Особенность работы - пересчёт пределов при замене переменной и правильная расстановка знаков при интегрировании по частям. Завершает тему вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами или особенностями внутри отрезка.
Если в неопределённом интеграле после замены t = φ(x) мы возвращались к x, то в определённом проще пересчитать пределы: ∫_a^b f(φ(x))·φ'(x) dx = ∫_{φ(a)}^{φ(b)} f(t) dt. Это экономит время - не нужно делать обратную замену. Важно: φ(x) должна быть монотонна на отрезке [a, b], иначе разбивают отрезок на участки монотонности. Пример: ∫_0^{π/2} sin x·cos x dx → t = sin x, dt = cos x dx, пределы: sin 0 = 0, sin(π/2) = 1 → ∫_0^1 t dt = t²/2 |_0^1 = 1/2.
Формула для определённого интеграла: ∫_a^b u·dv = (u·v)|_a^b − ∫_a^b v·du. В отличие от неопределённого, здесь не нужно заботиться о константе C - она сокращается в разности F(b) − F(a). Типичные комбинации те же: ∫_a^b x·e^x dx (u = x, dv = e^x dx), ∫_a^b x·sin x dx (u = x, dv = sin x dx). Для циклических интегралов (∫ e^{ax}·sin(bx) dx с пределами) алгоритм тот же - дважды по частям, затем решение уравнения, подстановка пределов в конце.
Несобственный интеграл первого рода - бесконечный предел: ∫_a^∞ f(x) dx = lim_{b→∞} ∫_a^b f(x) dx. Если предел конечен - интеграл сходится, иначе расходится. Второго рода - функция неограничена в точке внутри отрезка: ∫_a^b f(x) dx, где f(x) → ±∞ при x → c, разбивают на два интеграла с предельным переходом в точке c. В ИДЗ 9.1 несобственные интегралы - одно из заданий, требующее аккуратности: сначала вычислить первообразную, затем вычислить предел, и только если он существует - записать ответ.
В ИДЗ 9.1 входят задания: 1) простой определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница (первообразная - табличная или с простой заменой); 2) замена переменной с пересчётом пределов; 3) интегрирование по частям с пределами; 4) определённый интеграл от тригонометрической или иррациональной функции; 5) несобственный интеграл - исследование сходимости, вычисление значения. Ответ - число с точностью до 0,01 (оценивается погрешность). Каждая тема закрепляется на одном примере, и важно помнить, что техника из ИДЗ 8.2 работает и здесь - просто добавляются пределы.
Определённый интеграл - вычислительный аппарат для геометрии и физики. Площадь криволинейной трапеции ∫_a^b f(x) dx, работа переменной силы ∫_{x1}^{x2} F(x) dx, путь по скорости ∫_{t1}^{t2} v(t) dt, масса стержня по плотности ∫_{a}^b ρ(x) dx - всё это определённые интегралы. В ИДЗ 9.2 и ИДЗ 9.3 эти приложения становятся центральной темой. ИДЗ 9.1 - фундамент: без умения точно вычислять определённый интеграл невозможно решить ни одну прикладную задачу.
Выбираете вариант, выбираете формат (PDF или Word), оплачиваете 80 ₽ картой, СБП или криптовалютой и получаете готовый файл. Решение соответствует требованиям к оформлению задач Рябушко: указана первообразная, выполнена подстановка пределов, для замены - пересчитаны пределы, для несобственного интеграла - исследована сходимость. Каждый шаг расписан, ответ округлён до 0,01 с учётом погрешности. Если что-то осталось непонятно, обращайтесь - @idz_support, разберёмся вместе.
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Связь определённого интеграла с первообразной. Вычисление через неопределённый интеграл.
∫_a^b f(φ(x))·φ'(x) dx = ∫_{φ(a)}^{φ(b)} f(t) dt. Пересчёт пределов без обратной замены.
∫_a^b u·dv = (u·v)|_a^b − ∫_a^b v·du. Подстановка пределов после нахождения u·v.
Определённые интегралы от дробей с квадратным трёхчленом. Разложение на простейшие, подстановка пределов.
Определённые интегралы от sin x, cos x. Понижение степени, замена с пересчётом пределов.
Определённые интегралы с корнями. Замена √(x) = t, подстановки Эйлера с пределами.
Интегралы с бесконечными пределами или разрывами. Исследование сходимости, предельный переход.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.