Интегрирование тригонометрических функций, Интегрирование иррациональных функций, Интегрирование по частям, Замена переменной
Неопределённый интеграл - основа интегрального исчисления, где по заданной производной восстанавливают первообразную. В ИДЗ 8.2 Рябушко эта тема раскрывается через специальные методы интегрирования: замену переменной (подстановка t = φ(x) и dt = φ'(x)·dx), интегрирование по частям (формула ∫ u·dv = u·v − ∫ v·du), обработку тригонометрических выражений (∫ sin^m x·cos^n x dx с разбором чётных и нечётных степеней), а также работу с квадратным трёхчленом (выделение полного квадрата в знаменателе или под корнем). Каждый из этих подходов расширяет таблицу базовых интегралов, освоенную в ИДЗ 6.1.
Суть замены: подынтегральное выражение f(x)·dx преобразуется к виду g(t)·dt, где t = φ(x) - новая переменная. Обратная замена x = ψ(t) работает для интегралов с корнями и радикалами - эта техника подробно разбирается в ИДЗ 8.1. Прямая замена: если ∫ f(φ(x))·φ'(x) dx, то t = φ(x), dt = φ'(x)·dx → ∫ f(t) dt. Пример: ∫ 2x·cos(x²) dx → t = x², dt = 2x·dx → ∫ cos t dt = sin(x²) + C. В ИДЗ 8.2 встречаются комбинированные замены, где требуется предварительно преобразовать выражение - вынести множитель, применить формулу приведения.
Формула интегрирования по частям - одно из самых мощных средств, особенно когда подынтегральная функция содержит произведение разнородных функций: многочлен на тригонометрическую, показательную на тригонометрическую, логарифм. Выбор u и dv подчиняется правилу: u - функция, которая упрощается при дифференцировании (ln x, arctg x, многочлен); dv - оставшаяся часть вместе с dx. Типовые комбинации: ∫ x·e^x dx (u = x, dv = e^x dx), ∫ x·sin x dx (u = x, dv = sin x dx), ∫ e^x·sin x dx (циклический интеграл - после двукратного применения получаем уравнение относительно исходного интеграла).
Интеграл ∫ sin^m x·cos^n x dx решается по-разному в зависимости от чётности m и n. Случай 1: m нечётное (m = 2k+1) - отделяем один sin x, заменяем sin² x = 1 − cos² x, подстановка t = cos x. Случай 2: n нечётное - подстановка t = sin x. Случай 3: m и n чётные - понижаем степень формулами sin² x = (1 − cos 2x)/2, cos² x = (1 + cos 2x)/2, sin x·cos x = (sin 2x)/2. Случай 4: m = −1 или n = −1 - подстановка t = tg x. Пример: ∫ sin² x·cos² x dx = (1/8)·∫ (1 − cos 4x) dx = x/8 − sin 4x/32 + C.
Задания ИДЗ 8.2 делятся на четыре группы: 1) интегралы, решаемые заменой переменной (с подбором подходящей подстановки); 2) интегралы на метод интегрирования по частям (включая циклические ∫ e^{ax}·sin(bx) dx); 3) тригонометрические интегралы ∫ sin^m x·cos^n x dx (все четыре случая чётности); 4) интегралы с квадратным трёхчленом - выделение полного квадрата в знаменателе. Каждая группа проверяет умение распознать тип интеграла и выбрать правильный метод. Техника интегрирования по частям и замены переменной будет необходима в ИДЗ 8.3 для интегрирования рациональных дробей.
Знания из ИДЗ 8.2 применяются везде, где нужно восстановить процесс по скорости его изменения. В физике: по скорости тела находят закон движения (интегрирование ускорения даёт скорость, скорости - координату). В экономике: по предельным издержкам восстанавливают функцию общих издержек. В биологии: по скорости роста популяции определяют её численность. Интегрирование по частям используется при расчёте распределения электрического поля, замены переменной - при обработке сигналов и в анализе Фурье. Любая обратная задача «что было, если известна скорость изменения» сводится к неопределённому интегралу.
Цена - 90 ₽. Выбираете вариант, указываете PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен для скачивания мгновенно. Решение содержит пошаговый разбор каждого задания: замены переменной с обоснованием выбора подстановки, интегрирование по частям с указанием u и dv, тригонометрические интегралы с понижением степени, интегралы от квадратного трёхчлена. Каждое решение проверено - все шаги расписаны, ответы обоснованы. Если что-то осталось неясно, свяжитесь с нами через Telegram - @idz_support, объясним каждый шаг.
Интегралы от sin x, cos x, tg x, ctg x. Формулы преобразования произведений в сумму.
Интегралы с корнями √(ax² + bx + c). Подстановки и выделение полного квадрата.
Формула ∫ u·dv = u·v − ∫ v·du. Выбор u и dv, циклические интегралы.
Подстановка t = φ(x), dt = φ'(x)·dx. Прямая и обратная замена.
Выделение полного квадрата ax² + bx + c = a(x + p)² + q. Сведение к табличным.
Разбор случаев чётности m и n. Понижение степени, подстановки t = sin x, t = cos x.
Формулы sin² x = (1 − cos 2x)/2, cos² x = (1 + cos 2x)/2, sin x·cos x = sin 2x/2.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.