Метод неопределённых коэффициентов, Выделение полного квадрата, Замена переменной, Интегрирование по частям
Рациональная дробь - это отношение двух многочленов P(x)/Q(x). Интегрирование таких дробей - центральная тема ИДЗ 8.3 Рябушко. Основная идея: любую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей четырёх типов: A/(x − a), A/(x − a)^k, (Mx + N)/(x² + px + q), (Mx + N)/(x² + px + q)^k. Коэффициенты A, M, N находят методом неопределённых коэффициентов или методом частных значений. После разложения каждый член интегрируется независимо - логарифм, arctg или рекуррентная формула для дробей высших степеней. Без этого навыка невозможно решать дифференциальные уравнения в ИДЗ 11.3.
Для дроби P(x)/Q(x) с известными корнями знаменателя записывают разложение с буквенными коэффициентами. Приводят к общему знаменателю, приравнивают числители. Получают систему линейных уравнений относительно A_i, B_j, C_j. Метод частных значений: вместо решения системы подставляют в равенство числителей корни знаменателя - уравнения решаются почти устно. Пример: (3x + 5)/((x − 1)(x + 2)) = A/(x − 1) + B/(x + 2). Подстановка x = 1 даёт A = 8/3, x = −2 даёт B = 1/3. Интеграл: (8/3)·ln|x − 1| + (1/3)·ln|x + 2| + C.
Если знаменатель содержит непріводимый квадратный трёхчлен x² + px + q, простейшая дробь имеет вид (Mx + N)/(x² + px + q). Интеграл разбивается на две части: M·∫ (2x + p)/(x² + px + q) dx = M·ln|x² + px + q| - интеграл от производной знаменателя, и (N − M·p/2)·∫ dx/(x² + px + q) = (N − M·p/2)·(2/√(4q − p²))·arctg((2x + p)/√(4q − p²)). Для непріводимых трёхчленов дискриминант отрицателен - в ответе всегда arctg. Для дробей второй степени (k = 2) применяется рекуррентная формула, понижающая степень знаменателя на 1.
Иррациональные функции в ИДЗ 8.3 интегрируются через подстановки, которые превращают корень в рациональное выражение. Для выражений с √(x) - замена √(x) = t (как в ИДЗ 8.1), для дробно-линейной иррациональности √((ax + b)/(cx + d)) - подстановка t = √((ax + b)/(cx + d)). Дифференциальный бином ∫ x^m·(a + bx^n)^p dx интегрируется в элементарных функциях при одном из трёх условий Чебышева: p целое, (m+1)/n целое, (m+1)/n + p целое. Каждому условию - своя подстановка.
Первый тип - разложение правильной рациональной дроби на простейшие с действительными различными корнями. Второй - кратные корни (x − a)^k, требуется k дробей с постепенным понижением степени. Третий - непріводимые квадратные множители, результат содержит arctg. Четвёртый - иррациональные функции и дифференциальный бином с проверкой условий Чебышева. Каждое задание - интеграл, который до разложения выглядит устрашающе, но после применения метода неопределённых коэффициентов распадается на сумму простых табличных интегралов.
В механике: передаточные функции систем автоматического регулирования - рациональные дроби, их интегрирование даёт переходные процессы. В электротехнике: операторный метод расчёта цепей (преобразование Лапласа) сводит дифференциальные уравнения к рациональным дробям - обратное преобразование требует разложения на простейшие. В статистике: распределения Пирсона и Стьюдента записываются через рациональные функции. ИДЗ 8.3 учит видеть за громоздким выражением структуру, которая распадается на простые слагаемые - навык, востребованный в любом инженерном расчёте.
Стоимость одного варианта - 90 ₽. Выбираете вариант из списка на сайте, указываете формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл готов к скачиванию. Решение содержит пошаговый разбор каждого задания: проверка правильности дроби, разложение на простейшие с нахождением коэффициентов, интегрирование каждого члена. Для дифференциального бинома - проверка условий Чебышева. Решение содержит пошаговый разбор каждого задания - оформление подходит для сдачи преподавателю. Если сомневаетесь в выборе варианта или нужна консультация, напишите в Telegram - @idz_support, поможем разобраться.
Разложение дроби на простейшие с буквенными коэффициентами. Решение системы линейных уравнений или метод частных значений.
Преобразование x² + px + q к виду (x + p/2)² + (q − p²/4). Сведение интеграла к arctg.
Подстановки для иррациональностей: √(x) = t, √((ax+b)/(cx+d)) = t, тригонометрические подстановки.
Применяется для интегралов от логарифмов, обратных тригонометрических, произведений разнородных функций.
Замены, превращающие корни в рациональные выражения. Подстановки Эйлера для квадратичных иррациональностей.
Интеграл ∫ x^m·(a + b·x^n)^p dx. Условия Чебышева и соответствующие подстановки.
Четыре типа: A/(x−a), A/(x−a)^k, (Mx+N)/(x²+px+q), (Mx+N)/(x²+px+q)^k.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.