Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, Характеристическое уравнение, Фундаментальная система решений, Линейные неоднородные уравнения
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами - центральная тема главы 11. В ИДЗ 11.3 Рябушко рассматривают однородные уравнения (правая часть равна нулю) и неоднородные (правая часть - функция). Для однородных составляют характеристическое уравнение, находят его корни и по ним строят фундаментальную систему решений. Для неоднородных к общему решению однородного добавляют частное решение, которое подбирают по виду правой части методом неопределённых коэффициентов. В конце - системы дифференциальных уравнений, решаемые методом исключения.
Для уравнения a·y'' + b·y' + c·y = 0 составляют характеристическое: a·r² + b·r + c = 0. Каждому корню r соответствует своя компонента решения. Два действительных различных корня r₁ ≠ r₂ дают y = C₁·e^(r₁x) + C₂·e^(r₂x). Если корни одинаковые r₁ = r₂, появляется множитель x: y = (C₁ + C₂·x)·e^(rx). Комплексные корни r = α ± iβ дают y = e^(αx)·(C₁·cos(βx) + C₂·sin(βx)). Для уравнений третьего порядка кубическое характеристическое уравнение даёт три корня - комбинация тех же правил.
Фундаментальная система решений (ФСР) - набор линейно независимых решений, из которых линейной комбинацией получают общее решение. Для уравнения второго порядка в ФСР входят две функции. Если характеристическое уравнение даёт корни r₁ и r₂, ФСР - {e^(r₁x), e^(r₂x)}. Для кратного корня: {e^(rx), x·e^(rx)}. Для комплексных: {e^(αx)·cos(βx), e^(αx)·sin(βx)}. Определитель Вронского позволяет проверить линейную независимость - если он не равен нулю в точке, ФСР построена верно.
Для неоднородного уравнения a·y'' + b·y' + c·y = f(x) общее решение - сумма общего решения однородного и частного решения неоднородного. Частное решение подбирают по виду f(x): если f(x) = P_n(x)·e^(kx), частное ищут в виде x^s·Q_n(x)·e^(kx), где s - кратность совпадения k с корнем характеристического. Для f(x) = e^(αx)·(P(x)·cos(βx) + Q(x)·sin(βx)) - аналогично с учётом комплексных корней. Если правая часть сложная, применяют метод вариации произвольных постоянных Лагранжа, который работает для любой правой части.
Чтобы успешно выполнить ИДЗ 11.3, нужно последовательно освоить четыре этапа. Первый - решение однородного уравнения второго порядка: характеристическое уравнение, корни, ФСР. Второй - неоднородное уравнение: подбор частного решения и сложение с однородным. Третий - задача Коши: подстановка начальных условий y(x₀) и y'(x₀) для определения констант. Четвёртый - система двух ДУ: метод исключения одной переменной, сведение к одному уравнению второго порядка. Методы ИДЗ 11.1 и ИДЗ 11.2 знакомят с общими подходами, а 11.3 даёт готовый алгоритм для конкретного класса уравнений.
Линейные ДУ с постоянными коэффициентами - математическая модель любого линейного колебательного процесса. Уравнение пружинного маятника: m·x'' + k·x = F(t). Электрический RLC-контур: L·I'' + R·I' + I/C = E'(t). Резонанс наступает, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой - это прямое следствие структуры частного решения неоднородного уравнения. В ИДЗ 11.3 случай совпадения корня характеристического с показателем правой части - математическая модель резонанса. Понимание этих связей превращает абстрактные ДУ в инструмент инженерного расчёта.
Для получения готового решения: выбираете вариант и формат (PDF или Word), оплачиваете 60 ₽ любым способом - файл открывается сразу после оплаты. Решение содержит пошаговый разбор каждого задания - составление характеристического уравнения, построение ФСР, подбор частного решения по виду правой части, определение констант из начальных условий, сведение системы к одному уравнению. Каждое решение проверено - все шаги расписаны, случаи кратных корней и резонанса разобраны отдельно, оформление подходит для сдачи. Если сомневаетесь в выборе варианта или нужна консультация, напишите в Telegram - @idz_support, поможем разобраться.
a·y'' + b·y' + c·y = 0. Решение через характеристическое уравнение a·r² + b·r + c = 0.
Алгебраическое уравнение, корни которого определяют структуру решения ДУ.
Набор линейно независимых решений. Для каждого корня - своя функция в ФСР.
a·y'' + b·y' + c·y = f(x). Общее решение = общее однородное + частное неоднородное.
Подбор частного решения по виду f(x) с учётом совпадения с корнями характеристического.
Определение констант C₁, C₂ из начальных условий y(x₀), y'(x₀).
Решение методом исключения: сведение двух уравнений к одному второго порядка.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.