Задача Коши для уравнения первого порядка, Частное решение дифференциального уравнения, Геометрические задачи на составление ДУ, Касательная к кривой
ИДЗ 11.4 - завершающий раздел главы 11, где все методы дифференциальных уравнений первого порядка применяются к прикладным задачам. Первая половина заданий - задача Коши для разных типов: дано дифференциальное уравнение и начальное условие, нужно найти частное решение. Вторая половина - геометрические задачи: по словесному описанию свойства кривой (касательная, нормаль, отрезки на осях, площадь) составить дифференциальное уравнение и решить его. Это прямое развитие навыков из ИДЗ 11.1 и ИДЗ 11.2.
В первом задании ИДЗ 11.4 дают дифференциальное уравнение первого порядка и точку с начальным условием. Тип уравнения может быть любым: разделяющиеся переменные, однородное, линейное, Бернулли или в полных дифференциалах. Алгоритм единый: определить тип, применить соответствующий метод, получить общее решение с константой C, подставить начальное условие y(x₀) = y₀, найти C, записать частное решение. Сложность в том, что тип заранее не указан - его нужно распознать. Каждый из пяти вариантов содержит уравнение своего типа, поэтому важно уметь различать их по внешнему виду.
Классическая формулировка: «Найти кривую, для которой отрезок касательной между осями координат делится точкой касания пополам». Переход к ДУ: координаты точки касания (x, y), уравнение касательной Y − y = y'·(X − x). Точки пересечения с осями: с осью X (Y = 0) → X = x − y/y', с осью Y (X = 0) → Y = y − x·y'. Длина отрезка между осями - расстояние между этими точками. Условие «делится пополам» даёт уравнение: точка касания - середина отрезка. Из этого составляют ДУ и решают его.
Если условие дано на нормаль, используют угловой коэффициент нормали −1/y'. Уравнение нормали: Y − y = (−1/y')·(X − x). Отрезок, отсекаемый нормалью на оси, - координата пересечения с осью. Площадь треугольника, образованного касательной или нормалью с осями, вычисляют как половину произведения отрезков на осях. Типовое задание: «Найти кривую, проходящую через точку (x₀, y₀), у которой площадь треугольника, образованного касательной и осями, равна a». Составляют ДУ, решают с учётом начального условия.
В ИДЗ 11.4 входят задачи двух групп. Первая группа - пять уравнений первого порядка разных типов с задачей Коши: распознать тип, решить, подставить начальное условие. Вторая группа - геометрические задачи: составить дифференциальное уравнение по словесному описанию свойства кривой (касательная, нормаль, отрезки, площадь) и решить его с учётом начального условия. В каждом задании проверяется не только техника решения ДУ, но и умение перевести геометрическое условие на язык производных. Навык составления ДУ по описанию - ключевой элемент ИДЗ 11.2, здесь он выходит на новый уровень.
Задачи из ИДЗ 11.4 - не абстрактные упражнения, а модели реальных инженерных ситуаций. Свойство касательной описывает форму оптического зеркала (параболическое зеркало собирает параллельные лучи в фокус). Условие на нормаль определяет траекторию движения точки под действием центральной силы. Постоянство отрезка касательной - модель канатной нити, натянутой между двумя точками. Площадь треугольника, образованного касательной с осями, характеризует кривую погони - траекторию, по которой один объект догоняет другой. Каждая геометрическая задача из 11.4 имеет прототип в физике или технике.
Цена - 60 ₽. Выбираете вариант, указываете PDF или Word, оплачиваете - файл доступен для скачивания мгновенно. Принимаем карты, СБП и криптовалюту. Решение содержит пошаговый разбор каждого задания - пять уравнений разных типов с задачей Коши (распознавание типа, решение, подстановка начального условия, проверка) и две геометрические задачи (составление ДУ, его решение, построение кривой). Каждое решение проверено - все шаги расписаны, ответы обоснованы, оформление подходит для сдачи преподавателю. Если что-то осталось неясно, свяжитесь с нами через Telegram - @idz_support, объясним каждый шаг.
Общее решение + начальное условие y(x₀) = y₀ → частное решение. Уравнения разных типов.
Решение, удовлетворяющее начальному условию. Единственная интегральная кривая через заданную точку.
Перевод словесного условия (касательная, нормаль, отрезки, площадь) в дифференциальное уравнение.
Уравнение касательной через производную. Точки пересечения с осями, отрезки, подкасательная.
Уравнение нормали с угловым коэффициентом −1/y'. Отрезки и треугольники, образованные нормалью с осями.
Координаты пересечения касательной или нормали с осями X и Y. Длина отрезка между осями.
Площадь прямоугольного треугольника, ограниченного касательной и осями координат.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.