Уравнения с разделяющимися переменными, Однородные дифференциальные уравнения, Линейные дифференциальные уравнения, Уравнения Бернулли
Главное, чем предстоит овладеть в ИДЗ 11.1 Рябушко - уверенно распознавать тип дифференциального уравнения и применять подходящий метод решения. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах - каждый тип требует своего подхода. Пятое задание - задача Коши, где к общему решению добавляют начальное условие и находят частное. В ИДЗ 8.2 уже встречались интегралы, которые понадобятся при интегрировании обеих частей ДУ.
Уравнение dy/dx = f(x)·g(y) решается разделением: всё, что зависит от y, переносят в левую часть, от x - в правую. Получают два интеграла, каждый по своей переменной. Техника сводится к правильному алгебраическому разделению и аккуратному взятию интегралов. Типичная ошибка - забыть константу интегрирования C и потерять особые решения, при которых g(y) = 0. Разделение переменных - базовый приём, который встречается и в более сложных типах, поэтому его важно отработать до автоматизма.
Однородное уравнение y' = f(y/x) сводится к разделяющимся подстановкой y = ux: после замены y' = u + x·u' уравнение превращается в u + x·u' = f(u). Линейное уравнение y' + P(x)·y = Q(x) решают методом Бернулли (подстановка y = uv) или через интегрирующий множитель μ = e^∫P(x)dx. Оба типа объединяет одно: удачная замена сводит задачу к интегрированию. Различие лишь в том, какую именно замену применять. Умение различать однородное и линейное уравнение по внешнему виду приходит с практикой - в ИДЗ 11.1 эти два типа стоят рядом.
Уравнение Бернулли y' + P(x)·y = Q(x)·y^n отличается от линейного правой частью с y^n. Спасение - подстановка z = y^(1-n), которая превращает его в линейное. Для n = 0 получается линейное уравнение, для n = 1 - с разделяющимися переменными. Уравнение в полных дифференциалах M·dx + N·dy = 0 проверяют условием ∂M/∂y = ∂N/∂x. Если равенство выполнено, решение восстанавливают интегрированием M по x или N по y. Если условие не выполнено, подбирают интегрирующий множитель - это самое трудоёмкое задание во всём ИДЗ 11.1.
В ИДЗ 11.1 проверяются 5 ключевых навыков. Первый - уравнения с разделяющимися переменными: самое простое задание, но с подвохом в виде особых решений. Второй - однородные уравнения: замена y = ux и сведение к разделяющимся. Третий - линейные уравнения первого порядка: либо метод Бернулли с подстановкой y = uv, либо интегрирующий множитель. Четвёртый - уравнение Бернулли: сведение к линейному через z = y^(1-n). Пятый - уравнение в полных дифференциалах: проверка условия и восстановление функции. В каждом задании - задача Коши: найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀. Методы интегрирования из ИДЗ 8.2 и ИДЗ 8.3 применяются здесь напрямую.
Дифференциальные уравнения - язык, на котором природа описывает изменения. Радиоактивный распад, рост популяции, охлаждение тела, электрические цепи - всё это ДУ первого порядка. В физике уравнение dx/dt = −kx описывает закон охлаждения Ньютона. В биологии logistic equation dP/dt = rP(1 − P/K) - модель роста популяции с ограничением. В экономике уравнение накопления капитала с учётом инвестиций и амортизации тоже сводится к линейному ДУ. ИДЗ 11.1 учит работать с любым из этих уравнений: распознать тип, применить метод, получить решение.
Стоимость одного варианта - 60 ₽. Выбираете вариант из списка на сайте, указываете формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл готов к скачиванию. Решение содержит пошаговый разбор каждого задания - пять ДУ с распознаванием типа, применением метода и интегрированием, плюс задача Коши с подстановкой начального условия. Решение проверено - все выкладки подробные, пропущенные шаги восстановлены, особые решения отмечены, оформление подходит для сдачи преподавателю. По любым вопросам - @idz_support, отвечаем в течение дня.
dy/dx = f(x)·g(y). Разделение и интегрирование каждой части по своей переменной.
y' = f(y/x). Замена y = ux, сведение к разделяющимся переменным.
y' + P(x)·y = Q(x). Метод Бернулли или интегрирующий множитель.
y' + P(x)·y = Q(x)·y^n. Сведение к линейному через z = y^(1−n).
M·dx + N·dy = 0, ∂M/∂y = ∂N/∂x. Восстановление функции по частным производным.
Общее решение + начальное условие y(x₀) = y₀ → частное решение. Определение константы C.
Подстановка y = uv, сведение к системе двух уравнений с разделяющимися переменными.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.