ИДЗ 8.1 из сборника Рябушко посвящено интегрированию иррациональных функций. Основные темы: замена переменной для корней √(x) и ∛(x), подстановки Эйлера для квадратичных иррациональностей, выделение полного квадрата, тригонометрические подстановки, метод неопределённых коэффициентов, дифференциальный бином (подстановки Чебышева). Каждый вариант содержит 6–8 интегралов разных типов. Полученные навыки используются в ИДЗ 8.2 при интегрировании тригонометрических функций.
ИДЗ 8.1 - все варианты
Интеграл от иррациональной функции, Замена переменной, Подстановки Эйлера, Тригонометрические подстановки
Описание темы
Интегрирование иррациональных функций: от замены переменной до подстановок Эйлера - что вас ждёт в ИДЗ 8.1 Рябушко
Иррациональные функции - класс выражений, в которых переменная стоит под знаком корня: √(ax² + bx + c), √(x + a), ∛(x) и их комбинации. В ИДЗ 8.1 Рябушко собраны основные приёмы интегрирования таких функций: замена переменной (подстановка √(x) = t для простых корней), подстановки Эйлера для квадратичных иррациональностей, метод неопределённых коэффициентов (выделение полного квадрата и понижение степени), интегрирование дифференциального бинома (подстановки Чебышева). Каждый вариант содержит 6–8 интегралов, охватывающих разные типы иррациональностей - от простых корней до комбинированных дробно-линейных выражений под корнем.
Интегрирование квадратичных иррациональностей: подстановки Эйлера, выделение полного квадрата
Для интегралов вида ∫ R(x, √(ax² + bx + c)) dx применяют три подхода. Первый - выделение полного квадрата: ax² + bx + c = a(x + p)² + q, после чего интеграл сводится к табличному ∫ dt / √(t² ± k²) или ∫ √(t² ± k²) dt. Второй - подстановки Эйлера. Первая подстановка: √(ax² + bx + c) = ±√a·x + t при a > 0. Вторая: √(ax² + bx + c) = t·(x − x1) + √(ax1² + bx1 + c), где x1 - корень квадратного трёхчлена. Третий - тригонометрические подстановки: x = a·sin t для √(a² − x²), x = a·sec t для √(x² − a²), x = a·tg t для √(x² + a²). Выбор метода - навык, который пригодится в ИДЗ 8.2 для тригонометрических подстановок.
Замена переменной: подстановка √(x) = t и её варианты
Простейший случай иррациональности - когда подынтегральное выражение содержит √(x) (или корень другой степени). Подстановка √(x) = t, x = t², dx = 2t·dt превращает иррациональное выражение в рациональную дробь. Для корня n-й степени: ∛(x) = t, x = t³, dx = 3t²·dt. Если выражение содержит корни разных степеней, подстановка делается по НОК степеней: для √(x) и ∛(x) - подстановка √[6]{x} = t (НОК(2, 3) = 6). Пример: ∫ dx / (1 + √x) → t = √x → ∫ 2t·dt / (1 + t) = ∫ (2 − 2/(1+t)) dt = 2t − 2 ln|1 + t| + C = 2√x − 2 ln(1 + √x) + C.
Метод неопределённых коэффициентов: понижение степени иррациональности
Для интегралов вида ∫ P_n(x) / √(ax² + bx + c) dx, где P_n(x) - многочлен степени n, применяют метод Остроградского: интеграл представляют как Q_{n−1}(x)·√(ax² + bx + c) + λ·∫ dx / √(ax² + bx + c), где Q_{n−1}(x) - многочлен степени n−1 с неопределёнными коэффициентами. Коэффициенты находят дифференцированием обеих частей и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях x. Метод особенно эффективен для интегралов с многочленами высоких степеней - он понижает степень иррациональности, сводя задачу к табличным интегралам.
ИДЗ 8.1: разбор типовых заданий
В ИДЗ 8.1 входят задания: 1) интеграл от дроби √(x)/(1 + √[3]{x}) - подстановка √[6]{x} = t; 2) интеграл с квадратичной иррациональностью ∫ dx / √(x² + px + q) - выделение полного квадрата; 3) ∫ R(x, √(ax² + bx + c)) dx с линейной заменой; 4) ∫ √(x² + k) dx - табличный или тригонометрическая подстановка; 5) дифференциальный бином ∫ x^m·(a + b·x^n)^p dx с проверкой условий Чебышева; 6) комбинированный интеграл, объединяющий замену и выделение полного квадрата. Каждый тип отрабатывается на 2–3 примерах. Техники из ИДЗ 8.1 используются в ИДЗ 11.3 при интегрировании дифференциальных уравнений.
Дифференциальный бином: условия Чебышева и подстановки для ∫ x^m·(a + b·x^n)^p dx
Интеграл ∫ x^m·(a + b·x^n)^p dx называется дифференциальным биномом. Он интегрируется в элементарных функциях только в трёх случаях: 1) p - целое → подстановка x = t^N (N = НОК знаменателей m и n); 2) (m+1)/n - целое → подстановка a + b·x^n = t; 3) (m+1)/n + p - целое → подстановка a·x^(−n) + b = t. Если ни одно условие не выполняется, интеграл не выражается в элементарных функциях (сводится к эллиптическим). Пример: ∫ √(1 + √x) dx → x = t⁴ (НОК(2, 4) = 4) - второй случай Чебышева. Подстановки Чебышева - редкий, но важный инструмент, завершающий тему иррациональных интегралов.
Готовые решения ИДЗ 8.1: интегралы иррациональных функций с пошаговым разбором
Стоимость одного варианта ИДЗ 8.1 - 60 ₽. Выбираете нужный вариант и формат (PDF или Word), оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл сразу доступен для скачивания. Решение содержит: интегралы с простыми иррациональностями (замена √(x) = t), квадратичные иррациональности (подстановки Эйлера, выделение полного квадрата), тригонометрические подстановки, метод неопределённых коэффициентов, дифференциальный бином с проверкой условий Чебышева. Каждый интеграл расписан по шагам - указана подстановка, промежуточные преобразования и ответ. Решение проверено, оформление подходит для сдачи преподавателю. Если что-то осталось непонятным - напишите в Telegram @idz_support, разберём детали.
Основные темы
Интеграл от иррациональной функции
Интеграл, содержащий переменную под знаком корня. Методы: подстановки Эйлера, выделение полного квадрата, замена переменной.
Замена переменной
Подстановка √(x) = t, ∛(x) = t, по НОК степеней. Сведение к интегралу от рациональной дроби.
Подстановки Эйлера
Первая, вторая и третья подстановки для квадратичных иррациональностей. Условия применимости.
Тригонометрические подстановки
Замена x = a·sin t, x = a·tg t, x = a·sec t для корней √(a² − x²), √(x² + a²), √(x² − a²).
Выделение полного квадрата
Преобразование ax² + bx + c к a(x + p)² + q. Сведение к табличным интегралам.
Метод неопределённых коэффициентов
Представление интеграла от многочлена, делённого на корень, в виде Q_{n−1}·√ + λ·∫ dx/√.
Дифференциальный бином
Интеграл ∫ x^m·(a + b·x^n)^p dx. Условия Чебышева. Подстановки для каждого случая.
Часто задаваемые вопросы
Для успешного выполнения ИДЗ 8.1 необходимо владеть техникой интегрирования из ИДЗ 6.1 (таблица интегралов, замена переменной, интегрирование по частям). Потребуется умение решать квадратные уравнения, выделять полный квадрат, раскладывать многочлены на множители. Из нового материала - подстановки Эйлера, метод неопределённых коэффициентов, дифференциальный бином и условия Чебышева.
Для √(x) подстановка √(x) = t, x = t², dx = 2t·dt. Для ∛(x): ∛(x) = t, x = t³, dx = 3t²·dt. Если подынтегральное выражение содержит корни разных степеней, подстановка делается по НОК степеней: для √(x) и ∛(x) - НОК(2, 3) = 6, подстановка √[6]{x} = t. После замены получается рациональная дробь от t, которая интегрируется методом неопределённых коэффициентов (разложение на простейшие).
Первая подстановка: √(ax² + bx + c) = t ± √a·x (при a > 0). После подстановки x выражается как рациональная функция от t, интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби. Вторая подстановка: √(ax² + bx + c) = t·(x − x1) + √(ax1² + bx1 + c), где x1 - действительный корень квадратного трёхчлена; применяется при D ≥ 0. Третья подстановка: √(ax² + bx + c) = √(c) ± t·x (при c > 0) - применяется редко. На практике чаще используют выделение полного квадрата и тригонометрические подстановки.
Метод применяется для интегралов вида ∫ P_n(x) / √(ax² + bx + c) dx, где P_n(x) - многочлен степени n. Интеграл представляют как Q_{n−1}(x)·√(ax² + bx + c) + λ·∫ dx / √(ax² + bx + c). Многочлен Q_{n−1}(x) ищется с неопределёнными коэффициентами. Дифференцируют обе части, приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x, находят λ и коэффициенты Q. Метод эффективен для многочленов степени n ≥ 2.
Дифференциальный бином - интеграл вида ∫ x^m·(a + b·x^n)^p dx. Он интегрируется в элементарных функциях только в трёх случаях (условия Чебышева): 1) p - целое; 2) (m+1)/n - целое; 3) (m+1)/n + p - целое. Для каждого случая есть своя подстановка. Если ни одно условие не выполняется, интеграл не выражается в элементарных функциях. В ИДЗ 8.1 встречаются примеры, где одно из условий выполняется, и подстановка даёт элементарный ответ.
Тригонометрическая подстановка x = a·tg t применяется для интегралов с √(x² + a²). После замены dx = a·dt / cos² t, √(x² + a²) = a·sec t = a/cos t - корень исчезает, и интеграл становится тригонометрическим. Аналогично: x = a·sin t для √(a² − x²), x = a·sec t для √(x² − a²). Этот метод подробно изучается в ИДЗ 8.2 и применяется для широкого класса интегралов.
Первая - неправильный выбор подстановки: пытаются применить подстановки Эйлера там, где достаточно замены √(x) = t. Вторая - ошибка в НОК степеней при нескольких корнях. Третья - забывают dx = f'(t)·dt при замене. Четвёртая - путают тригонометрические подстановки: для √(a² − x²) берут x = a·tg t вместо x = a·sin t. Пятая - не проверяют условия Чебышева для дифференциального бинома.
Алгоритм: для ax² + bx + c выносят a за скобки: a(x² + (b/a)x + c/a). Затем дополняют до полного квадрата: x² + (b/a)x = (x + b/(2a))² − b²/(4a²). Получаем a((x + p)² + q), где p = b/(2a), q = c/a − b²/(4a²). Интеграл сводится к ∫ dt / √(t² ± k²) или ∫ √(t² ± k²) dt - табличные интегралы, дающие логарифм или арксинус.
На выполнение ИДЗ 8.1 требуется в среднем 5–7 часов. Рекомендуется повторить таблицу интегралов (ИДЗ 6.1) и методы замены переменной. На каждый тип интеграла - 30–50 минут: простые корни (замена √(x) = t) быстрее, подстановки Эйлера и дифференциальный бином - дольше. Для уверенного выполнения нужно решить 3–4 тренировочных примера каждого типа перед основным вариантом.
Автор сборника: А.П. РябушкоИнформация актуальна на июнь 2026