ИДЗ 6.1 Часть 1 - все варианты, купить решения от 90₽

ИДЗ 6.1 из сборника Рябушко посвящено нахождению производных функций. Основные темы: правила дифференцирования (сумма, произведение, частное), табличные производные степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций, дифференцирование сложных функций по правилу цепочки. Каждый вариант содержит 10–12 примеров, охватывающих все типы элементарных функций. Навыки, полученные в ИДЗ 6.1, необходимы для ИДЗ 6.2 (производные высших порядков) и ИДЗ 6.4 (исследование функций).

Для успешного выполнения ИДЗ 6.1 необходимо владеть элементарными функциями: степенными, показательными, логарифмическими, тригонометрическими и обратными тригонометрическими. Потребуется уверенное знание их свойств и графиков. Из нового материала - определение производной, таблица производных, правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции. Желательно повторить тригонометрические формулы и свойства логарифмов - они активно используются в примерах.

Производная произведения вычисляется по формуле (u·v)' = u'·v + u·v'. Например, для (x²·sin x)' = 2x·sin x + x²·cos x. Важно не путать с правилом сложения: производная произведения НЕ равна произведению производных. Если одна из функций - сложная, к ней дополнительно применяют правило цепочки. Типичная ошибка - дифференцировать только первый множитель, забывая про второй.

Производная частного: (u/v)' = (u'·v − u·v') / v². Порядок в числителе важен: сначала u'·v, потом минус u·v'. При v = const производная упрощается до u'/v. Для сложных функций в числителе или знаменателе комбинируют с правилом цепочки. Пример: (ln x / x)' = (1/x · x − ln x · 1) / x² = (1 − ln x) / x².

Сложная функция f(g(x)) дифференцируется по правилу цепочки: f(g(x))' = f'(g(x)) · g'(x). Алгоритм: 1) определить внешнюю функцию f и внутреннюю g; 2) взять производную f, подставив g(x) как аргумент; 3) умножить на производную g(x). Для трёх уровней (f(g(h(x)))) цепочка удлиняется: f'(g(h(x))) · g'(h(x)) · h'(x). Пример: sin³(2x) → 3·sin²(2x)·cos(2x)·2 = 6·sin²(2x)·cos(2x).

Для ИДЗ 6.1 необходимы: (arcsin x)' = 1/√(1 − x²); (arccos x)' = −1/√(1 − x²); (arctg x)' = 1/(1 + x²); (arcctg x)' = −1/(1 + x²). Типичные ошибки: забывают знак минус у arccos и arcctg, путают производную arctg (1/(1+x²)) с табличным интегралом. Если аргумент - сложная функция, правило цепочки применяется дополнительно.

На выполнение ИДЗ 6.1 требуется в среднем 3–5 часов. Простые примеры на сумму и произведение занимают 5–10 минут каждый. Производные сложных функций с тремя уровнями вложенности требуют 15–20 минут. Комбинированные примеры, объединяющие несколько правил, - до 25 минут. Рекомендуется начинать с повторения таблицы производных, затем решать примеры в порядке возрастания сложности.

Первая - забывают применить правило цепочки к внутренней функции. Вторая - путают правило произведения (u·v)' с (u·v)' = u'·v' (неверно). Третья - неверный знак у arccos и arcctg. Четвёртая - пропуск дифференцирования знаменателя в правиле частного. Пятая - арифметические ошибки при упрощении показателей степени. Шестая - забывают, что производная e^x равна e^x, а не x·e^(x−1).

Все правила дифференцирования из ИДЗ 6.1 используются многократно для нахождения производных высших порядков в ИДЗ 6.2: чтобы найти f''(x), сначала находят f'(x) по правилам из ИДЗ 6.1, затем дифференцируют результат. При неявном дифференцировании применяют то же правило цепочки, но с учётом, что y - функция от x. Без уверенного владения техникой ИДЗ 6.1 задания ИДЗ 6.2 будут значительно сложнее.

Это одно и то же. Сложная функция - это и есть композиция двух или более функций. Правило цепочки применяется одинаково независимо от количества уровней вложенности. В ИДЗ 6.1 используются оба термина, но метод один: производная внешней функции, подставленная внутренняя, умноженная на производную внутренней. Для каждого уровня добавляется один множитель.

ИДЗ 6.1 - все варианты

Описание темы

Что изучается в ИДЗ 6.1: производная суммы, произведения, частного и сложной функции

Правила суммы, произведения и частного: три кита дифференцирования

Производная сложной функции: правило цепочки от внешней к внутренней

Таблица производных: от степенной до обратных тригонометрических

ИДЗ 6.1: разбор типовых заданий

Производная в физике, экономике и биологии: где работают знания из ИДЗ 6.1

Готовое решение ИДЗ 6.1: производная любой функции с пошаговым разбором

Основные темы

Производная

Правила дифференцирования

Производная степенной функции

Производная показательной функции

Производная логарифмической функции

Производная тригонометрических функций

Производная обратных тригонометрических функций

Производная сложной функции

Часто задаваемые вопросы

Другие разделы

ИДЗ 6.1 - все варианты

Описание темы

Что изучается в ИДЗ 6.1: производная суммы, произведения, частного и сложной функции

Правила суммы, произведения и частного: три кита дифференцирования

Производная сложной функции: правило цепочки от внешней к внутренней

Таблица производных: от степенной до обратных тригонометрических

ИДЗ 6.1: разбор типовых заданий

Производная в физике, экономике и биологии: где работают знания из ИДЗ 6.1

Готовое решение ИДЗ 6.1: производная любой функции с пошаговым разбором

Основные темы

Производная

Правила дифференцирования

Производная степенной функции

Производная показательной функции

Производная логарифмической функции

Производная тригонометрических функций

Производная обратных тригонометрических функций

Производная сложной функции

Часто задаваемые вопросы

Что изучается в ИДЗ 6.1?

Какие разделы математики нужно знать для ИДЗ 6.1?

Как найти производную произведения двух функций?

Как найти производную частного двух функций?

Как дифференцировать сложную функцию?

Какие производные обратных тригонометрических функций нужно знать?

Сколько времени нужно на выполнение ИДЗ 6.1?

Какие типичные ошибки возникают в ИДЗ 6.1?

Как техника дифференцирования из ИДЗ 6.1 применяется в ИДЗ 6.2?

Чем отличается производная сложной функции от производной композиции?

Другие разделы