ИДЗ 6.1 из сборника Рябушко посвящено нахождению производных функций. Основные темы: правила дифференцирования (сумма, произведение, частное), табличные производные степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций, дифференцирование сложных функций по правилу цепочки. Каждый вариант содержит 10–12 примеров, охватывающих все типы элементарных функций. Навыки, полученные в ИДЗ 6.1, необходимы для ИДЗ 6.2 (производные высших порядков) и ИДЗ 6.4 (исследование функций).
ИДЗ 6.1 - все варианты
Производная, Правила дифференцирования, Производная степенной функции, Производная показательной функции
Описание темы
Как найти производную сложной функции? - Ответ в ИДЗ 6.1 Рябушко
Главное, чем предстоит овладеть в ИДЗ 6.1 - уверенно дифференцировать любые функции: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические и их композиции. Первая половина заданий - отработка базовых правил (сумма, произведение, частное) на простых функциях. Вторая - дифференцирование сложных функций с многоуровневой вложенностью. Навык доводится до автоматизма: от табличных производных до цепочек из пяти и более элементарных звеньев. Результаты закрепляются в ИДЗ 6.2 при изучении производных высших порядков и неявных функций.
Правила суммы, произведения и частного: три кита дифференцирования
Базовые правила: (u + v)' = u' + v' - производная суммы равна сумме производных; (u·v)' = u'·v + u·v' - правило произведения; (u/v)' = (u'·v − u·v') / v² - правило частного. На примерах это выглядит так: (x²·sin x)' = 2x·sin x + x²·cos x; (ln x / x)' = (1/x·x − ln x·1) / x² = (1 − ln x) / x². Все три правила применяются в каждом втором примере ИДЗ 6.1, поэтому их отрабатывают на 4–5 различных комбинациях функций.
Производная сложной функции: правило цепочки от внешней к внутренней
Сложная функция f(g(x)) дифференцируется по правилу цепочки: f(g(x))' = f'(g(x)) · g'(x). Сначала берут производную внешней функции, подставляя внутреннюю как аргумент, затем умножают на производную внутренней. Для трёхуровневой вложенности f(g(h(x)))' = f'(g(h(x))) · g'(h(x)) · h'(x). Типичный пример: sin³(2x) = (sin(2x))³ → 3·sin²(2x)·cos(2x)·2 = 6·sin²(2x)·cos(2x). Это правило - самое частое в ИДЗ 6.1, оно встречается в 60 % заданий.
Таблица производных: от степенной до обратных тригонометрических
Базовый набор для ИДЗ 6.1: (x^n)' = n·x^(n−1); (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^x·ln a; (ln x)' = 1/x; (log_a x)' = 1/(x·ln a); (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x; (tg x)' = 1/cos²x; (ctg x)' = −1/sin²x; (arcsin x)' = 1/√(1 − x²); (arccos x)' = −1/√(1 − x²); (arctg x)' = 1/(1 + x²); (arcctg x)' = −1/(1 + x²). Производные обратных тригонометрических функций - наиболее частый источник ошибок: знак минус у arccos и arcctg и квадратный корень у arcsin и arccos.
ИДЗ 6.1: разбор типовых заданий
В ИДЗ 6.1 встречаются задания: 1) найти производную степенной функции с рациональным показателем; 2) продифференцировать произведение многочлена на тригонометрическую функцию; 3) производная частного логарифмической и показательной функций; 4) сложная функция с тремя уровнями вложенности (например, ln(cos(e^x))); 5) комбинированный пример, объединяющий правило произведения и цепочки; 6) производная обратной тригонометрической функции от дробно-рационального аргумента. Каждый вариант содержит 10–12 примеров, охватывающих все типы функций и правил.
Производная в физике, экономике и биологии: где работают знания из ИДЗ 6.1
Производная - математическая модель скорости любого процесса. В физике: скорость тела - производная пути по времени, сила тока - производная заряда, мощность - производная работы. В экономике: предельные издержки - производная функции затрат по объёму, эластичность спроса - производная логарифма спроса по логарифму цены. В биологии: скорость роста популяции - производная численности по времени. Без навыков дифференцирования, полученных в ИДЗ 6.1, невозможно решать задачи из ИДЗ 6.4 на оптимизацию.
Готовое решение ИДЗ 6.1: производная любой функции с пошаговым разбором
Цена одного варианта ИДЗ 6.1 - 60 ₽. Выбираете нужный вариант и формат (PDF или Word), оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл сразу доступен для скачивания. Решение содержит: производные степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций, а также сложных функций с многоуровневой вложенностью. Каждый пример расписан по шагам: указано применяемое правило, промежуточные преобразования и окончательный ответ. Применение правила Лопиталя для контроля результатов не требуется - все производные вычисляются стандартными методами дифференцирования. Если сомневаетесь в выборе варианта или нужна консультация, напишите в Telegram - @idz_support, поможем разобраться.
Основные темы
Производная
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Определение и геометрический смысл.
Правила дифференцирования
Правила суммы, произведения и частного для нахождения производных.
Производная степенной функции
Формула (x^n)' = n·x^(n−1) для целых, рациональных и действительных показателей.
Производная показательной функции
Дифференцирование e^x и a^x. Особенности показательной функции с основанием e.
Производная логарифмической функции
Производная натурального и десятичного логарифма. Логарифмическое дифференцирование.
Производная тригонометрических функций
Производные sin, cos, tg, ctg и их комбинаций.
Производная обратных тригонометрических функций
Производные arcsin, arccos, arctg, arcctg. Знаки и область определения.
Производная сложной функции
Правило цепочки: f(g(x))' = f'(g(x)) · g'(x). Многоуровневая вложенность.
Часто задаваемые вопросы
Для успешного выполнения ИДЗ 6.1 необходимо владеть элементарными функциями: степенными, показательными, логарифмическими, тригонометрическими и обратными тригонометрическими. Потребуется уверенное знание их свойств и графиков. Из нового материала - определение производной, таблица производных, правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции. Желательно повторить тригонометрические формулы и свойства логарифмов - они активно используются в примерах.
Производная произведения вычисляется по формуле (u·v)' = u'·v + u·v'. Например, для (x²·sin x)' = 2x·sin x + x²·cos x. Важно не путать с правилом сложения: производная произведения НЕ равна произведению производных. Если одна из функций - сложная, к ней дополнительно применяют правило цепочки. Типичная ошибка - дифференцировать только первый множитель, забывая про второй.
Производная частного: (u/v)' = (u'·v − u·v') / v². Порядок в числителе важен: сначала u'·v, потом минус u·v'. При v = const производная упрощается до u'/v. Для сложных функций в числителе или знаменателе комбинируют с правилом цепочки. Пример: (ln x / x)' = (1/x · x − ln x · 1) / x² = (1 − ln x) / x².
Сложная функция f(g(x)) дифференцируется по правилу цепочки: f(g(x))' = f'(g(x)) · g'(x). Алгоритм: 1) определить внешнюю функцию f и внутреннюю g; 2) взять производную f, подставив g(x) как аргумент; 3) умножить на производную g(x). Для трёх уровней (f(g(h(x)))) цепочка удлиняется: f'(g(h(x))) · g'(h(x)) · h'(x). Пример: sin³(2x) → 3·sin²(2x)·cos(2x)·2 = 6·sin²(2x)·cos(2x).
Для ИДЗ 6.1 необходимы: (arcsin x)' = 1/√(1 − x²); (arccos x)' = −1/√(1 − x²); (arctg x)' = 1/(1 + x²); (arcctg x)' = −1/(1 + x²). Типичные ошибки: забывают знак минус у arccos и arcctg, путают производную arctg (1/(1+x²)) с табличным интегралом. Если аргумент - сложная функция, правило цепочки применяется дополнительно.
На выполнение ИДЗ 6.1 требуется в среднем 3–5 часов. Простые примеры на сумму и произведение занимают 5–10 минут каждый. Производные сложных функций с тремя уровнями вложенности требуют 15–20 минут. Комбинированные примеры, объединяющие несколько правил, - до 25 минут. Рекомендуется начинать с повторения таблицы производных, затем решать примеры в порядке возрастания сложности.
Первая - забывают применить правило цепочки к внутренней функции. Вторая - путают правило произведения (u·v)' с (u·v)' = u'·v' (неверно). Третья - неверный знак у arccos и arcctg. Четвёртая - пропуск дифференцирования знаменателя в правиле частного. Пятая - арифметические ошибки при упрощении показателей степени. Шестая - забывают, что производная e^x равна e^x, а не x·e^(x−1).
Все правила дифференцирования из ИДЗ 6.1 используются многократно для нахождения производных высших порядков в ИДЗ 6.2: чтобы найти f''(x), сначала находят f'(x) по правилам из ИДЗ 6.1, затем дифференцируют результат. При неявном дифференцировании применяют то же правило цепочки, но с учётом, что y - функция от x. Без уверенного владения техникой ИДЗ 6.1 задания ИДЗ 6.2 будут значительно сложнее.
Это одно и то же. Сложная функция - это и есть композиция двух или более функций. Правило цепочки применяется одинаково независимо от количества уровней вложенности. В ИДЗ 6.1 используются оба термина, но метод один: производная внешней функции, подставленная внутренняя, умноженная на производную внутренней. Для каждого уровня добавляется один множитель.
Автор сборника: А.П. РябушкоИнформация актуальна на июнь 2026