Бесконечно малые, Порядок малости, Эквивалентные бесконечно малые, Непрерывность функции
Прежде чем приступать к дифференцированию и построению графиков, нужно освоить строгий язык анализа - бесконечно малые и непрерывность. Именно этому посвящено ИДЗ 5.2 Рябушко. Первая часть - сравнение бесконечно малых функций: определение порядка малости, использование эквивалентных бесконечно малых для упрощения пределов, таблица основных замен. Вторая часть - исследование функций на непрерывность: нахождение точек разрыва, их классификация, построение эскизов графиков в окрестности разрыва. Материал опирается на технику вычисления пределов из ИДЗ 5.1.
Две бесконечно малые α(x) и β(x) сравнивают по пределу их отношения при x → a. Если lim α/β = 0 - α имеет высший порядок малости (стремится к нулю быстрее). Если lim α/β = C ≠ 0 - одного порядка. Если lim α/β = 1 - эквивалентны. Если lim α/β^k = C ≠ 0 - k-й порядок малости относительно β. Например, 1 − cos x ∼ x²/2 - второй порядок малости относительно x. Определение порядка позволяет заменять сложные бесконечно малые простыми степенными функциями.
Ключевое свойство: если α ∼ α₁ и β ∼ β₁, то lim α/β = lim α₁/β₁. Замена допустима только в произведении или частном - не в сумме или разности. Основная таблица при x → 0: sin x ∼ x, tg x ∼ x, arcsin x ∼ x, arctg x ∼ x, 1 − cos x ∼ x²/2, ln(1 + x) ∼ x, e^x − 1 ∼ x, a^x − 1 ∼ x·ln a, (1 + x)^k − 1 ∼ kx. Пример: lim(x→0) ln(1 + 3x) / sin(2x) = lim 3x / (2x) = 3/2. Таблица значительно ускоряет вычисление пределов и активно используется в ИДЗ 5.1.
Функция f(x) непрерывна в точке a, если lim(x→a) f(x) = f(a). Если условие нарушается, a - точка разрыва. Классификация: устранимый разрыв (lim существует, но не равен f(a) или f(a) не определена); разрыв первого рода (односторонние пределы конечны, но не равны - скачок); разрыв второго рода (хотя бы один односторонний предел равен ∞ или не существует). Примеры: y = sin x / x - устранимый разрыв в x = 0; y = 1/x - разрыв второго рода в x = 0; y = sign(x) - скачок в x = 0.
В ИДЗ 5.2 проверяются четыре ключевых навыка: 1) определение порядка малости бесконечно малой функции относительно x → 0 или другой бесконечно малой; 2) замена эквивалентными бесконечно малыми при вычислении пределов (5–6 примеров с комбинациями sin, tg, ln, e^x); 3) исследование функции на непрерывность - нахождение точек разрыва, вычисление односторонних пределов, классификация; 4) построение эскиза графика в окрестности точек разрыва. Задачи распределены так, что каждая тема закрепляется на 2–3 различных функциях.
Непрерывность - фундаментальное свойство физических процессов: траектория движения, температура, давление - непрерывные функции времени. Разрывные функции описывают скачкообразные процессы: ударные волны, фазовые переходы (лёд → вода), налоговые ставки с порогами, цифровые сигналы. В инженерии классификация точек разрыва помогает анализировать аварийные режимы: разрыв напряжения в цепи, резонанс в механических конструкциях. Теория непрерывности напрямую переходит в численные методы - для сходимости итерационных алгоритмов требуется непрерывность целевой функции.
Стоимость одного варианта ИДЗ 5.2 - 60 ₽. Выбираете вариант из списка на сайте, указываете формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен для скачивания мгновенно. Решение содержит: сравнение бесконечно малых с определением порядка малости, пределы с заменой эквивалентными бесконечно малыми, исследование на непрерывность с классификацией точек разрыва, построение эскизов графиков. Вы получаете готовый файл с подробным разбором - все этапы решения расписаны, односторонние пределы вычислены, тип каждого разрыва обоснован. Если что-то осталось неясно, свяжитесь с нами через Telegram - @idz_support, объясним каждый шаг.
Функции, предел которых равен нулю при x → a. Сравнение по порядку малости.
Определение k-го порядка малости относительно x: lim α(x)/x^k = C ≠ 0.
Таблица замен: sin x ∼ x, tg x ∼ x, 1 − cos x ∼ x²/2, ln(1 + x) ∼ x, e^x − 1 ∼ x.
Условие lim f(x) = f(a) в точке. Геометрический смысл - график без разрывов.
Точки, в которых нарушается условие непрерывности. Классификация по типам.
Предел существует, но функция не определена или значение не совпадает с пределом.
Конечные односторонние пределы не равны - скачок функции.
Хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ или не существует.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.