Эллипсоид, Гиперболоид, Параболоид, Конус
Эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоид, эллиптический и гиперболический параболоид, конус второго порядка, цилиндры - полный набор поверхностей, заданных уравнениями второй степени от трёх переменных. ИДЗ 4.2 Рябушко учит определять тип поверхности по её каноническому уравнению, строить эскиз поверхности методом параллельных сечений, составлять уравнения поверхностей вращения. Завершающее задание - построить тело, ограниченное заданными поверхностями, что требует пространственного воображения и понимания формы каждой поверхности. В основе лежат кривые второго порядка из ИДЗ 4.1.
Эллипсоид x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 - замкнутая поверхность, ограниченная по всем трём осям. Полуоси a, b, c - максимальные расстояния от центра до поверхности вдоль осей. Сфера - частный случай при a = b = c = R. Однополостный гиперболоид x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1 - поверхность, напоминающая «седло с трубой»: односвязная, неограниченная вдоль оси z. Двуполостный гиперболоид x²/a² − y²/b² − z²/c² = 1 состоит из двух отдельных чаш, симметричных относительно оси x. Метод построения - сечения координатными плоскостями: в каждой плоскости получается эллипс или гипербола.
Эллиптический параболоид z = x²/a² + y²/b² - «чаша», все горизонтальные сечения - эллипсы, вертикальные - параболы. Гиперболический параболоид z = x²/a² − y²/b² - «седло» (седловая поверхность): горизонтальные сечения - гиперболы, вертикальные - параболы, направленные в разные стороны. Конус второго порядка x²/a² + y²/b² − z²/c² = 0 - поверхность, образованная прямыми, проходящими через вершину. В сечении конуса плоскостью получаются эллипсы, параболы или гиперболы - поэтому кривые из ИДЗ 4.1 называются коническими сечениями. Цилиндры второго порядка: x²/a² + y²/b² = 1 - эллиптический цилиндр, y² = 2px - параболический цилиндр.
Универсальный метод построения поверхности: фиксируют одну координату (z = const), получают кривую в плоскости (x;y). Для эллипсоида z = const → эллипсы, сжимающиеся к полюсам. Для гиперболического параболоида z = const → гиперболы (z > 0 - один тип, z < 0 - сопряжённый). Для конуса z = const → эллипсы, вырождающиеся в точку при z = 0. Алгоритм: выбрать 3–4 значения z (включая характерные - вершины, нули), построить сечения, соединить плавными линиями. Поверхности вращения: если образующая - кривая из ИДЗ 4.1, заменяют y² на y² + z² (при вращении вокруг оси x).
В ИДЗ 4.2 входят задания: 1) привести уравнение поверхности к каноническому виду выделением полных квадратов и определить её тип; 2) построить эскиз поверхности методом параллельных сечений (эллипсоид, гиперболоид или параболоид); 3) составить уравнение поверхности вращения - линия из ИДЗ 4.1 вращается вокруг оси; 4) построить тело, ограниченное двумя-тремя поверхностями (например, цилиндр + параболоид + плоскость); 5) комбинированное задание на определение взаимного расположения поверхности и плоскости или прямой. Каждый вариант содержит 4–5 заданий разного уровня сложности.
Эллипсоид - форма планет, спутников, резонаторов; в архитектуре - купола стадионов и эллиптические залы (эффект шепчущей галереи: звук фокусируется на противоположном фокусе). Гиперболический параболоид («седло») - форма крыш современных зданий (Олимпийский стадион в Мюнхене, аэропорт Шереметьево-В): гиперболические параболоиды из железобетона выдерживают большие пролёты при малой толщине. Параболоид вращения - форма антенн и телескопов (радиотелескоп Аресибо). Конус - форма диффузоров, воронок, аэродинамических обтекателей. Цилиндры - трубы, резервуары, стволы колонн.
Цена одного варианта ИДЗ 4.2 - 60 ₽. Выбираете нужный вариант и формат (PDF или Word), оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл открывается сразу после скачивания. Решение содержит: приведение уравнения к каноническому виду, определение типа поверхности, построение методом параллельных сечений с эскизом, уравнение поверхности вращения, построение тела по заданным поверхностям. Каждое решение проверено - все шаги расписаны с пояснениями. Если остались вопросы - напишите в Telegram @idz_support, разберём детали.
Замкнутая поверхность x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1, все сечения - эллипсы. Сфера - частный случай равных полуосей.
Однополостный x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1 и двуполостный x²/a² − y²/b² − z²/c² = 1. Различие в числе полостей и направлении оси.
Эллиптический z = x²/a² + y²/b² (чаша) и гиперболический z = x²/a² − y²/b² (седло). Разная форма горизонтальных сечений.
Конус второго порядка x²/a² + y²/b² − z²/c² = 0. Прямые, проходящие через вершину. Вырожденная поверхность.
Эллиптический x²/a² + y²/b² = 1, параболический y² = 2px, гиперболический x²/a² − y²/b² = 1. Образующие параллельны оси.
Образование заменой y² на y² + z² при вращении кривой из плоскости xy вокруг оси x. Применение к линиям из ИДЗ 4.1.
Метод параллельных сечений: фиксация координаты и определение типа кривой в сечении. Основа построения эскиза.
Области, ограниченные несколькими поверхностями. Построение проекций на координатные плоскости для определения границ.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.