ИДЗ 4.1 из сборника Рябушко посвящено линиям второго порядка: эллипсу, гиперболе, параболе и окружности - их каноническим уравнениям, фокусам, директрисам и эксцентриситету. Вторая часть - кривые в полярных координатах (кардиоида, роза, логарифмическая спираль) и параметрических уравнениях (циклоида, астроида). Всего 5–6 заданий, сочетающих аналитические выводы и построение графиков. Полученные навыки необходимы для ИДЗ 4.2, где плоские линии разворачиваются в поверхности.
ИДЗ 4.1 - все варианты
Эллипс, Гипербола, Парабола, Окружность
Описание темы
Линии второго порядка: эллипс, гипербола, парабола и кривые в полярных координатах - ИДЗ 4.1 Рябушко
Что общего у эллипса, гиперболы и параболы? Все три линии получаются сечением конуса плоскостью - поэтому их называют коническими сечениями. ИДЗ 4.1 Рябушко посвящено каноническим уравнениям этих кривых: фокусы и директрисы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы, полярное уравнение параболы. Вторая половина заданий - кривые в полярных и параметрических координатах: спираль Архимеда, кардиоида, четырёхлепестковая роза, логарифмическая спираль, циклоида. Кривые второго порядка - фундамент для поверхностей второго порядка, изучаемых в ИДЗ 4.2.
Эллипс: каноническое уравнение, фокусы, эксцентриситет и директрисы
Эллипс определяется как множество точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. Каноническое уравнение: x²/a² + y²/b² = 1, где a - большая полуось, b - малая полуось. Фокальное расстояние c = √(a² − b²), фокусы F1(−c;0), F2(c;0). Эксцентриситет e = c/a - мера сжатия эллипса: e = 0 для окружности, e → 1 для вытянутого эллипса. Директрисы - прямые x = ±a/e. Для окружности a = b = R, c = 0, e = 0. Типовое задание: по заданным параметрам (фокусы, эксцентриситет, директрисы) составить каноническое уравнение.
Гипербола и парабола: асимптоты, фокусы и оптическое свойство
Гипербола x²/a² − y²/b² = 1 состоит из двух ветвей, стремящихся к асимптотам y = ±(b/a)x. Фокусы: F1(−c;0), F2(c;0), где c = √(a² + b²). Эксцентриситет e = c/a > 1. Директрисы: x = ±a/e. Для гиперболы важное свойство: модуль разности расстояний от любой точки до фокусов равен 2a. Парабола y² = 2px - множество точек, равноудалённых от фокуса F(p/2;0) и директрисы x = −p/2. Оптическое свойство параболы: лучи, параллельные оси, отражаются в фокус - это принцип работы параболических антенн и телескопов.
Кривые в полярных и параметрических координатах: от кардиоиды до циклоиды
Полярные координаты задаются радиусом r и углом φ: x = r·cos φ, y = r·sin φ. Типовые кривые: кардиоида r = a(1 + cos φ), трёхлепестковая роза r = a·sin 3φ, логарифмическая спираль r = a·e^(kφ), спираль Архимеда r = aφ. Параметрические уравнения: циклоида x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t); астроида x = a·cos³ t, y = a·sin³ t. Задание: построить кривую по точкам, перейти от полярных/параметрических к декартовым уравнениям (исключить параметр), найти точки пересечения. Эти навыки развивают пространственное мышление - база для поверхностей в ИДЗ 4.2.
Типовые задания ИДЗ 4.1: от канонического уравнения до построения в полярных координатах
В ИДЗ 4.1 входят задания: 1) составить каноническое уравнение эллипса по заданным фокусам, эксцентриситету и директрисам; 2) составить уравнение гиперболы по асимптотам и фокусному расстоянию; 3) составить уравнение параболы по фокусу или директрисе; 4) построить кривую в полярных координатах по точкам (кардиоида, роза, спираль); 5) перейти от параметрических уравнений к декартовым через исключение параметра; 6) комбинированное задание на определение типа линии по общему уравнению второй степени. Каждый вариант охватывает 5–6 заданий, сочетающих аналитический вывод и геометрическое построение.
Конические сечения в астрономии, оптике и архитектуре: где работают линии второго порядка
Эллипс - форма орбит планет (первый закон Кеплера). Парабола - форма рефлекторов прожекторов и антенн: все лучи от источника в фокусе отражаются параллельно оси. Гипербола - траектория комет, пролетающих мимо Солнца, и основа навигационной системы ЛОРАН (разность расстояний до двух станций). Архитектура: параболические арки мостов и куполов (Кёльнский собор, Сиднейский оперный театр). В полярных координатах описываются спирали - от раковины наутилуса до галактических рукавов.
Готовые решения ИДЗ 4.1: канонические уравнения и кривые в полярных координатах
Цена одного варианта ИДЗ 4.1 - 50 ₽. Выбираете нужный вариант и формат (PDF или Word), оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл сразу доступен для скачивания. Решение содержит: вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы, параболы по фокусам, директрисам и эксцентриситету с пошаговыми выкладками; построение кривых в полярных и параметрических координатах с таблицей точек; определение типа линии второго порядка по общему уравнению. Решения проверены, оформление подходит для сдачи преподавателю. Если остались вопросы - напишите в Telegram @idz_support, разберём детали.
Основные темы
Эллипс
Множество точек с постоянной суммой расстояний до фокусов. Каноническое уравнение x²/a² + y²/b² = 1, эксцентриситет e = c/a, директрисы x = ±a/e.
Гипербола
Множество точек с постоянной разностью расстояний до фокусов. Каноническое уравнение x²/a² − y²/b² = 1, асимптоты y = ±(b/a)x, эксцентриситет e > 1.
Парабола
Множество точек, равноудалённых от фокуса и директрисы. Каноническое уравнение y² = 2px, фокус F(p/2;0), директриса x = −p/2.
Окружность
Частный случай эллипса с равными полуосями. Каноническое уравнение (x − x0)² + (y − y0)² = R².
Полярные координаты
Задание кривых через радиус r и угол φ: кардиоида r = a(1 + cos φ), трёхлепестковая роза r = a·sin 3φ, спираль Архимеда r = aφ.
Параметрические уравнения
Задание кривых через параметр t: циклоида x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t); астроида x = a·cos³ t, y = a·sin³ t.
Часто задаваемые вопросы
Для составления канонического уравнения эллипса x²/a² + y²/b² = 1 нужно определить a (большую полуось) и b (малую полуось) по заданным условиям. Если даны фокусы F(±c;0) и эксцентриситет e: a = c/e, b = √(a² − c²). Если даны директрисы x = ±a/e: a² = c·a/e. Для окружности a = b = R. Всегда проверяют: a ≥ b, c = √(a² − b²), e = c/a < 1.
Гипербола x²/a² − y²/b² = 1 имеет две ветви, стремится к асимптотам, эксцентриситет e > 1. Парабола y² = 2px - одна ветвь, асимптот нет, эксцентриситет e = 1. У гиперболы два фокуса, у параболы - один. У гиперболы разность расстояний до фокусов постоянна (= 2a), у параболы - равенство расстояний до фокуса и директрисы. Обе кривые - конические сечения, но разные типы.
Полярные координаты - система, где точка задаётся расстоянием r от полюса и углом φ от полярной оси. Переход к декартовым: x = r·cos φ, y = r·sin φ. Для построения кривой r = f(φ) составляют таблицу значений r при φ от 0 до 2π с шагом π/6 или π/12, затем наносят точки в полярной системе. Примеры: кардиоида r = a(1 + cos φ) - сердцевидная; роза r = a·sin 3φ - три лепестка.
Параметрические уравнения выражают x и y через третий параметр t (часто угол). Для эллипса: x = a·cos t, y = b·sin t. Для циклоиды (траектория точки на колесе): x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t). Для астроиды: x = a·cos³ t, y = a·sin³ t. Исключение параметра: выражают cos t из x, sin t из y, используют sin²t + cos²t = 1.
В ИДЗ 4.1 встречаются эллипс (x²/a² + y²/b² = 1), гипербола (x²/a² − y²/b² = 1), парабола (y² = 2px), окружность (x² + y² = R²). Реже - эллипс с центром не в начале координат, сопряжённая гипербола (y²/a² − x²/b² = 1), парабола ветвями вниз (x² = 2py). Определение типа линии по общему уравнению Ax² + By² + Cx + Dy + F = 0 - отдельный класс заданий.
Первая - путают a и b для эллипса: a - большая полуось, b - малая; для гиперболы наоборот: a² под положительным членом. Вторая - неверный знак перед b² в уравнении гиперболы (минус). Третья - не различают директрисы (прямые) и асимптоты (наклонные). Четвёртая - в полярных координатах берут φ в градусах вместо радиан. Пятая - при исключении параметра забывают тригонометрическое тождество.
Эллипсы - форма орбит планет и спутников (первый закон Кеплера). Параболы - форма рефлекторов фар, прожекторов, спутниковых антенн, зеркал телескопов (оптическое свойство). Гиперболы - траектории пролётных комет и система навигации ЛОРАН. В архитектуре: параболические арки распределяют нагрузку равномерно (мосты, купола). Спирали (логарифмическая, Архимеда) - от раковин моллюсков до формы галактик.
На выполнение ИДЗ 4.1 требуется в среднем 4–6 часов. Канонические уравнения эллипса и гиперболы - 30–40 минут на задачу. Построение кривых в полярных координатах - 40–60 минут с учётом таблицы точек. Задачи с параметрическими уравнениями - 30–50 минут. Рекомендуется начать с повторения аналитической геометрии на плоскости (ИДЗ 3.2), уделив внимание уравнению прямой и расстоянию от точки до прямой.
Каждая поверхность второго порядка образована кривыми второго порядка в сечениях. Эллипсоид из ИДЗ 4.2 в сечении плоскостью z = const даёт эллипс - точно такой же, как в ИДЗ 4.1. Гиперболоид в сечении даёт гиперболу или эллипс. Поверхность вращения - это кривая из ИДЗ 4.1, повёрнутая вокруг оси. Без понимания канонических уравнений эллипса, гиперболы и параболы невозможно построить эскиз поверхности: метод параллельных сечений требует для каждого уровня определить тип кривой, а для этого нужно знать её каноническую форму.
Автор сборника: А.П. РябушкоИнформация актуальна на июнь 2026