ИДЗ 3.1 Рябушко - аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая. Основные темы: составление уравнений плоскости (по трём точкам, через точку и нормаль), канонические и параметрические уравнения прямой, угол между плоскостями, угол между прямой и плоскостью, расстояние от точки до плоскости. Каждый вариант содержит 4–5 заданий. Для нахождения нормали используется векторное произведение из ИДЗ 2.2.
ИДЗ 3.1 - все варианты
Уравнение плоскости, Уравнение прямой в пространстве, Нормальный вектор, Направляющий вектор
Описание темы
Плоскость и прямая в пространстве: уравнения, углы, расстояния - ИДЗ 3.1 Рябушко
Как составить уравнение плоскости по трём точкам? Как найти угол между прямой и плоскостью? Эти и другие задачи аналитической геометрии в пространстве - содержание ИДЗ 3.1 Рябушко. Первая половина - плоскость: общее уравнение, уравнение через точку и нормаль, через три точки, условия параллельности и перпендикулярности. Вторая - прямая в пространстве: канонические и параметрические уравнения, направляющий вектор, угол между прямыми. Завершают тему комбинированные задачи: взаимное расположение прямой и плоскости, расстояние от точки до плоскости, синус угла между прямой и плоскостью. Нормаль к плоскости - это векторное произведение направляющих векторов из ИДЗ 2.2.
Уравнение плоскости: общее, через точку и нормаль, через три точки
Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, где (A; B; C) - нормальный вектор. Через точку M0(x0; y0; z0) и нормаль n: A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0. Через три точки M1, M2, M3: составляют определитель |x−x1 y−y1 z−z1; x2−x1 y2−y1 z2−z1; x3−x1 y3−y1 z3−z1| = 0. Нормаль n можно найти как векторное произведение (M1M2) × (M1M3) - техника из ИДЗ 2.2. Условие параллельности плоскостей: n1 ∥ n2. Условие перпендикулярности: n1 ⊥ n2 (n1·n2 = 0).
Прямая в пространстве: канонические, параметрические, общие уравнения
Каноническое уравнение прямой: (x − x0)/m = (y − y0)/n = (z − z0)/p, где (m; n; p) - направляющий вектор. Параметрическое: x = x0 + m·t, y = y0 + n·t, z = z0 + p·t. Общее уравнение - пересечение двух плоскостей (система двух линейных уравнений). Угол между прямыми: cos φ = (s1·s2) / (|s1|·|s2|). Перпендикулярность: s1·s2 = 0. Параллельность: s1 ∥ s2 (пропорциональные координаты). Уравнение прямой через две точки: s = M1M2, M0 - любая из точек.
Взаимное расположение прямой и плоскости: угол, точка пересечения, параллельность
Угол между прямой и плоскостью (точнее, синус угла): sin φ = |n·s| / (|n|·|s|), где n - нормаль плоскости, s - направляющий вектор прямой. Условие параллельности: n ⊥ s (n·s = 0). Условие перпендикулярности: n ∥ s. Точка пересечения прямой с плоскостью: подставить параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, найти t, подставить обратно. Расстояние от точки M1 до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A² + B² + C²).
Типовые задания ИДЗ 3.1: от уравнения плоскости до угла между прямой и плоскостью
В ИДЗ 3.1 входят задания: 1) составить уравнение плоскости по трём точкам; 2) составить уравнение плоскости через точку, перпендикулярно заданной прямой; 3) написать каноническое и параметрическое уравнение прямой через две точки; 4) найти угол между плоскостями; 5) найти угол между прямой и плоскостью; 6) найти точку пересечения прямой с плоскостью; 7) вычислить расстояние от точки до плоскости. Каждый вариант содержит 4–5 заданий, охватывающих все типы взаимного расположения.
От навигации до 3D-моделирования: где работают плоскость и прямая в пространстве
Аналитическая геометрия в пространстве - язык инженерных расчётов. В авиации: плоскость крыла задаётся относительно фюзеляжа, углы атаки - углы между прямой (направлением полёта) и плоскостью (крыла). В строительстве: плоскости стен, перекрытий, скатов крыши - уравнения плоскостей; расстояние от точки до плоскости - допуски при монтаже. В компьютерной графике: трассировка лучей - нахождение точки пересечения прямой с плоскостью треугольника. В 3D-моделировании: сплайновые поверхности строятся через направляющие и нормальные векторы.
Заказать решение ИДЗ 3.1: плоскость и прямая в пространстве, углы, расстояния
Стоимость одного варианта ИДЗ 3.1 - 50 ₽. Выбираете вариант из списка на сайте, указываете формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл сразу доступен для скачивания. Решение содержит: уравнение плоскости по трём точкам, уравнение прямой в каноническом и параметрическом виде, угол между плоскостями, угол между прямой и плоскостью, расстояние от точки до плоскости. Каждый шаг расписан, решение подходит для сдачи. По любым вопросам - напишите в Telegram @idz_support, разберём детали.
Основные темы
Уравнение плоскости
Общее уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Уравнение через точку и нормаль, через три точки (определитель).
Уравнение прямой в пространстве
Каноническое (x−x0)/m = (y−y0)/n = (z−z0)/p. Параметрическое x = x0 + m·t, y = y0 + n·t, z = z0 + p·t.
Нормальный вектор
Вектор, перпендикулярный плоскости. Коэффициенты A, B, C из общего уравнения. Находится через векторное произведение.
Направляющий вектор
Вектор, параллельный прямой. Из канонического уравнения - знаменатели m, n, p. Через две точки - разность координат.
Угол между прямой и плоскостью
Синус угла: sin φ = |n·s| / (|n|·|s|). Условия параллельности и перпендикулярности.
Угол между плоскостями
Косинус угла: cos φ = |n1·n2| / (|n1|·|n2|). Условия параллельности и перпендикулярности.
Координатная плоскость
Плоскости Oxy (z = 0), Oxz (y = 0), Oyz (x = 0). Уравнения и расстояния до них.
Часто задаваемые вопросы
Для точек M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2), M3(x3;y3;z3): составить определитель |x−x1 y−y1 z−z1; x2−x1 y2−y1 z2−z1; x3−x1 y3−y1 z3−z1| = 0. Раскрыть определитель - получить Ax + By + Cz + D = 0. Альтернатива: найти n = (M1M2) × (M1M3) (векторное произведение), затем A(x−x1) + B(y−y1) + C(z−z1) = 0.
Через две точки M1 и M2: направляющий вектор s = M1M2. Каноническое уравнение: (x − x1)/s_x = (y − y1)/s_y = (z − z1)/s_z. Параметрическое: x = x1 + s_x·t, y = y1 + s_y·t, z = z1 + s_z·t. Если одна из проекций s равна нулю - соответствующая координата фиксирована (например, s_z = 0 → z = const).
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и её проекцией на плоскость. Синус угла: sin φ = |n·s| / (|n|·|s|), где n - нормаль плоскости, s - направляющий вектор прямой. Если sin φ = 0 - прямая параллельна плоскости. Если sin φ = 1 - перпендикулярна. Ответ: φ = arcsin(...).
Угол между плоскостями - угол между их нормалями n1 и n2. Косинус угла: cos φ = |n1·n2| / (|n1|·|n2|). Если cos φ = 0 - плоскости перпендикулярны (n1·n2 = 0). Если cos φ = 1 - параллельны (n1 ∥ n2). Ответ: φ = arccos(...).
Расстояние от точки M1(x1; y1; z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A² + B² + C²). В числителе - модуль подстановки координат точки в уравнение плоскости. В знаменателе - длина нормального вектора. Если точка лежит в плоскости, числитель = 0, расстояние = 0.
Параметрические уравнения прямой x = x0 + m·t, y = y0 + n·t, z = z0 + p·t подставляют в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Получают уравнение для t, решают его. Если t существует - прямая пересекает плоскость. Если уравнение не имеет решений - прямая параллельна плоскости. Если 0=0 - прямая лежит в плоскости.
Первая - забывают возвести координаты нормали в квадрат в знаменателе расстояния. Вторая - путают sin и cos: угол с плоскостью - синус, угол между плоскостями - косинус. Третья - при нахождении нормали через векторное произведение не берут модуль. Четвёртая - не проверяют параллельность прямой и плоскости перед поиском точки пересечения. Пятая - в каноническом уравнении при нулевом знаменателе не фиксируют соответствующую координату.
На выполнение ИДЗ 3.1 требуется 4–6 часов. Уравнение плоскости - 30–40 минут. Уравнение прямой - 20–30 минут. Углы (плоскость-плоскость, прямая-плоскость) - 30–40 минут. Расстояние и точка пересечения - 20–30 минут. Рекомендуется повторить векторное произведение из ИДЗ 2.2.
Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 при C = 0 (отсутствует z) превращается в уравнение прямой на плоскости Ax + By + D = 0. Направляющий вектор прямой в пространстве из ИДЗ 3.1 в ИДЗ 3.2 становится угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости - частный случай тех же условий для плоскостей в пространстве. Так трёхмерная геометрия сводится к двумерной, когда одна координата фиксирована.
Автор сборника: А.П. РябушкоИнформация актуальна на июнь 2026