ИДЗ 2.1 Рябушко - первая работа по векторной алгебре. Основные темы: модуль и направляющие косинусы вектора, скалярное произведение и проекция, деление отрезка в заданном отношении, разложение вектора по базису. Центральное задание - проверка, образуют ли три вектора базис, и разложение четвёртого вектора по этому базису. Полученные навыки - база для ИДЗ 2.2.
ИДЗ 2.1 - все варианты
Векторы, Линейные комбинации, Скалярное произведение, Проекция вектора
Описание темы
Векторы: линейные операции, скалярное произведение, базис и проекции - ИДЗ 2.1 Рябушко
Векторная алгебра начинается с линейных операций: сложение векторов, умножение на число, разложение по базису. ИДЗ 2.1 Рябушко последовательно охватывает все базовые понятия: нахождение модуля и направляющих косинусов, скалярное произведение и проекцию вектора на ось, деление отрезка в заданном отношении, разложение вектора по базису с решением системы. Координатный метод - главный инструмент: переход от геометрических условий к алгебраическим уравнениям. Без этих навыков невозможно перейти к векторному и смешанному произведению в ИДЗ 2.2.
Скалярное произведение: угол между векторами, проекция и условие ортогональности
Скалярное произведение a·b = |a|·|b|·cos φ = a_x·b_x + a_y·b_y + a_z·b_z. Через него находят угол между векторами: cos φ = (a·b) / (|a|·|b|). Условие перпендикулярности: a·b = 0. Проекция вектора a на направление b: пр_b a = (a·b) / |b|. Свойства: коммутативность a·b = b·a, линейность (a + b)·c = a·c + b·c. В ИДЗ 2.1 типовые задания: найти угол между векторами, вычислить проекцию одного вектора на другой, проверить ортогональность. Скалярное произведение используется в ИДЗ 2.2 для вычисления работы силы.
Разложение вектора по базису: переход от геометрии к системе уравнений
Если векторы e1, e2, e3 образуют базис (линейно независимы, не компланарны), любой вектор a можно разложить: a = α·e1 + β·e2 + γ·e3. Коэффициенты α, β, γ - координаты a в базисе. Их находят решением системы трёх уравнений: координаты a равны линейным комбинациям координат e1, e2, e3. Сначала проверяют, что e1, e2, e3 действительно образуют базис (определитель матрицы из их координат ≠ 0). Разложение по базису - прямой мост к ИДЗ 1.2, где такие системы решают методами Крамера или Гаусса.
Деление отрезка в заданном отношении и модуль вектора
Деление отрезка AB точкой C в отношении λ = AC/CB: координаты C = (x_A + λ·x_B)/(1 + λ). Для середины отрезка (λ = 1): C = ((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2; (z_A + z_B)/2). Модуль вектора: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²). Направляющие косинусы: cos α = a_x / |a|, cos β = a_y / |a|, cos γ = a_z / |a|, причём cos²α + cos²β + cos²γ = 1. Эти понятия - база для геометрических приложений: расстояние между точками, направление вектора, коллинеарность.
Типовые задания ИДЗ 2.1: от модуля и проекций до базиса и деления отрезка
В ИДЗ 2.1 входят задания: 1) вычислить модуль и направляющие косинусы вектора; 2) найти скалярное произведение и угол между векторами; 3) вычислить проекцию одного вектора на другой; 4) разделить отрезок в заданном отношении; 5) доказать, что векторы образуют базис, и разложить вектор по этому базису (решить систему); 6) определить, коллинеарны или ортогональны заданные векторы. Каждый вариант содержит 5–6 заданий разного типа. Базисные задачи - центральные, они требуют решения системы из ИДЗ 1.2.
Векторы в компьютерной графике, физике и навигации: где работает ИДЗ 2.1
Векторы - математическая основа для описания направления и величины. В компьютерной графике: векторы задают положение точек, направление света, нормали к поверхностям, перемещение объектов. В физике: сила, скорость, ускорение - векторные величины; работа - скалярное произведение силы на перемещение. В навигации: вектор скорости ветра складывается с вектором скорости самолёта. В геодезии: деление отрезка - интерполяция координат между точками. Разложение по базису - переход от одного набора координат к другому (смена системы отсчёта).
Купить готовые решения ИДЗ 2.1: векторы, координаты, скалярное произведение, базис
Стоимость одного варианта ИДЗ 2.1 - 50 ₽. Выбираете вариант из списка на сайте, указываете формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл сразу доступен для скачивания. Решение содержит: вычисление модуля и направляющих косинусов, скалярное произведение и проекции, деление отрезка, разложение по базису с проверкой линейной независимости. Каждое задание расписано по шагам. Решение подходит для сдачи преподавателю. Если остались вопросы - напишите в Telegram @idz_support, разберём детали.
Основные темы
Векторы
Направленный отрезок. Модуль, направляющие косинусы, равенство векторов, коллинеарность.
Линейные комбинации
Сложение и вычитание векторов, умножение на число. Линейная зависимость и независимость.
Скалярное произведение
Произведение модулей на косинус угла. Свойства: коммутативность, линейность. Условие ортогональности.
Проекция вектора
Пр_b a = (a·b) / |b|. Геометрический смысл - длина тени вектора a на направление b.
Деление отрезка
Координаты точки C, делящей отрезок AB в отношении λ = AC/CB. Формула для середины отрезка.
Базис векторов
Три линейно независимых вектора. Условие: определитель матрицы их координат ≠ 0.
Координаты вектора в базисе
Коэффициенты разложения a = α·e1 + β·e2 + γ·e3. Решение системы трёх уравнений.
Часто задаваемые вопросы
Скалярное произведение a·b = |a|·|b|·cos φ = a_x·b_x + a_y·b_y + a_z·b_z. В координатах: перемножить соответствующие координаты и сложить. Пример: a = (2; −3; 1), b = (4; 0; −5) → a·b = 2·4 + (−3)·0 + 1·(−5) = 8 − 5 = 3. Через скалярное произведение находят угол между векторами и проекцию.
Проекция вектора a на направление b: пр_b a = (a·b) / |b|. Это длина «тени» a на b. Если пр_b a > 0 - угол между a и b острый; < 0 - тупой; = 0 - векторы перпендикулярны. Для проекции на ось с единичным направляющим вектором e: пр_e a = a·e.
Точка C, делящая отрезок AB в отношении λ = AC/CB: C = (A + λ·B) / (1 + λ). В координатах: x_C = (x_A + λ·x_B)/(1 + λ). Для λ = 1 (середина): C = ((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2). Важно: λ - отношение AC к CB, а не к AB. Если C лежит вне отрезка, λ < 0.
Векторы e1, e2, e3 образуют базис в пространстве, если они линейно независимы. Для трёх векторов - составить определитель из их координат (по строкам или столбцам). Если определитель ≠ 0 - векторы линейно независимы, образуют базис. Если = 0 - компланарны (лежат в одной плоскости), базиса не образуют. Аналог для плоскости - два вектора, определитель 2×2.
Для разложения a = α·e1 + β·e2 + γ·e3: 1) проверить, что e1, e2, e3 образуют базис; 2) записать систему: α·e1_x + β·e2_x + γ·e3_x = a_x, и так для y и z; 3) решить систему методом Крамера или Гаусса (навык из ИДЗ 1.2). Коэффициты α, β, γ - координаты a в базисе e1, e2, e3.
Первая - неправильная формула проекции: путают (a·b)/|b| с (a·b)·|b|. Вторая - не проверяют определитель базиса перед разложением. Третья - путают λ в делении отрезка: λ = AC/CB, а не AC/AB. Четвёртая - забывают извлечь корень при нахождении модуля. Пятая - в разложении по базису решают систему с ошибками.
Векторы всюду, где есть направление и величина. Физика: сила (F), скорость (v), ускорение (a), импульс (p = m·v). Компьютерная графика: координаты вершин, нормали к поверхностям, направление света. Навигация: скорость ветра и путевая скорость. Геодезия: координаты точек, расстояния. Экономика: вектор цен, вектор выпуска. ИДЗ 2.1 закладывает базу для всех этих областей.
Выполнение ИДЗ 2.1 занимает 3–5 часов. Простейшие задания (модуль, скалярное произведение) - 20–30 минут. Деление отрезка - 30 минут. Разложение по базису - 40–60 минут (требует решения системы). Рекомендуется повторить методы решения систем из ИДЗ 1.2.
Разложение вектора по базису из ИДЗ 2.1 - прямой вход в ИДЗ 2.2. Векторное произведение вычисляется через определитель из координат - те же линейные операции, что и в ИДЗ 2.1, но с алгебраическими дополнениями. Смешанное произведение - определитель 3×3, строится на координатах векторов, которые находили через разложение по базису. Без твёрдого навыка базисных операций вычисление объёма пирамиды и момента силы становится механическим, без понимания геометрии.
Автор сборника: А.П. РябушкоИнформация актуальна на июнь 2026