ИДЗ 2.2 Рябушко посвящено векторному и смешанному произведению векторов. Основные темы: нахождение векторного произведения через определитель, площадь треугольника и параллелограмма, смешанное произведение и объём пирамиды, проверка коллинеарности и компланарности, работа силы (скалярное произведение) и момент силы (векторное произведение). Каждый вариант содержит 5–6 заданий. Материал опирается на ИДЗ 2.1.
ИДЗ 2.2 - все варианты
Векторное произведение, Смешанное произведение, Коллинеарность векторов, Компланарность векторов
Описание темы
Векторное и смешанное произведение: площади, объёмы, коллинеарность, компланарность - ИДЗ 2.2 Рябушко
Если скалярное произведение даёт число, то векторное - новый вектор, перпендикулярный двум исходным. ИДЗ 2.2 Рябушко показывает, как через векторное произведение находить площадь треугольника и параллелограмма, а через смешанное - объём пирамиды и параллелепипеда. Вторая половина заданий - прикладные: работа силы (скалярное произведение силы на перемещение), момент силы (векторное произведение радиус-вектора на силу). Проверка коллинеарности (векторное произведение = 0) и компланарности (смешанное произведение = 0) - обязательный шаг в каждом варианте. Всё это опирается на линейные операции из ИДЗ 2.1.
Векторное произведение: геометрический смысл, формула через определитель, площадь
Векторное произведение c = a × b: длина |c| = |a|·|b|·sin φ (площадь параллелограмма), направление - по правилу правого винта (перпендикулярно a и b). В координатах: a × b = |i j k; a_x a_y a_z; b_x b_y b_z| - определитель 3×3. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма: S_пар = |a × b|. Площадь треугольника: S_тр = |a × b| / 2. Свойства: антикоммутативность a × b = −(b × a), линейность. Условие коллинеарности: a × b = 0.
Смешанное произведение: объём пирамиды и условие компланарности
Смешанное произведение (a × b)·c = |a_x a_y a_z; b_x b_y b_z; c_x c_y c_z| - определитель 3×3. Геометрический смысл: модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на a, b, c: V_пар = |(a × b)·c|. Объём треугольной пирамиды: V_пир = |(a × b)·c| / 6. Компланарность: если три вектора лежат в одной плоскости, их смешанное произведение равно нулю. Свойство: (a × b)·c = a·(b × c) - перестановка сомножителей не меняет результат (циклическая).
Работа силы и момент силы: физические приложения векторных произведений
Работа постоянной силы F на перемещении S равна скалярному произведению: A = F·S (джоули). Если сила задана вектором, перемещение - вектором, работа - число. Если сила направлена под углом к перемещению, работа максимальна при совпадении направлений и равна нулю при перпендикулярности. Момент силы M относительно точки O: M = r × F, где r - радиус-вектор точки приложения силы. Момент - вектор, перпендикулярный плоскости r и F. Его модуль |M| = |r|·|F|·sin φ - характеризует вращающий эффект силы. Эти задачи - мост к ИДЗ 3.1.
Типовые задания ИДЗ 2.2: от векторного произведения до объёма и работы
В ИДЗ 2.2 входят задания: 1) вычислить векторное произведение и площадь параллелограмма (треугольника); 2) проверить коллинеарность векторов; 3) вычислить смешанное произведение и объём пирамиды; 4) проверить компланарность трёх векторов; 5) найти площадь грани и объём пирамиды с вершинами в заданных точках; 6) вычислить работу силы на перемещении; 7) вычислить момент силы относительно точки. Каждый вариант содержит 5–6 заданий, сочетающих аналитические вычисления и геометрические приложения.
От площади параллелограмма до момента силы: где работают векторные произведения
Векторное и смешанное произведения - не абстрактные конструкции. В компьютерной графике: векторное произведение даёт нормаль к поверхности - основу для расчёта освещения. В физике: момент силы (M = r × F) - центральная величина в механике вращения; момент импульса L = r × p; сила Лоренца F = q·(v × B) - векторное произведение скорости на магнитное поле. В гидродинамике: завихренность потока - ротор скорости (rot v = ∇ × v). В геометрии: объём пирамиды через смешанное произведение - кратчайший путь.
Готовые решения ИДЗ 2.2: векторное и смешанное произведение, площадь, объём, момент силы
Цена одного варианта ИДЗ 2.2 - 50 ₽. Выбираете нужный вариант и формат (PDF или Word), оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл сразу доступен для скачивания. Решение содержит: векторное произведение с проверкой коллинеарности, смешанное произведение и объём пирамиды, площадь грани, работу и момент силы. Каждое вычисление расписано: определитель раскрыт по шагам, промежуточные результаты - с пояснениями. Решение подходит для сдачи преподавателю. Если остались вопросы - напишите в Telegram @idz_support, разберём детали.
Основные темы
Векторное произведение
Результат - вектор, перпендикулярный a и b. Длина равна площади параллелограмма. Вычисляется через определитель.
Смешанное произведение
(a × b)·c - скаляр. Равен определителю из координат векторов. Модуль - объём параллелепипеда.
Коллинеарность векторов
Векторы коллинеарны, если их векторное произведение равно нулю. Пропорциональность координат.
Компланарность векторов
Три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Лежат в одной плоскости.
Площадь грани пирамиды
Площадь треугольника через векторное произведение сторон: S = |AB × AC| / 2.
Объём пирамиды
Объём треугольной пирамиды: V = |(AB × AC)·AD| / 6. Вершины A, B, C, D.
Работа силы
Скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения: A = F·S. Единица - джоуль.
Момент силы
Векторное произведение радиус-вектора на силу: M = r × F. Характеризует вращающий эффект.
Часто задаваемые вопросы
Векторное произведение a × b = |i j k; a_x a_y a_z; b_x b_y b_z|. Раскрывают определитель по первой строке: i·(a_y·b_z − a_z·b_y) − j·(a_x·b_z − a_z·b_x) + k·(a_x·b_y − a_y·b_x). Результат - новый вектор. Его модуль |a × b| = |a|·|b|·sin φ - площадь параллелограмма на a и b. Если a × b = 0 - векторы коллинеарны.
По трём точкам A, B, C: найти AB = B − A, AC = C − A. Площадь треугольника S = |AB × AC| / 2. Модуль векторного произведения - площадь параллелограмма, треугольник - половина. Пример: A(1;2;3), B(4;5;6), C(7;8;9) → AB=(3;3;3), AC=(6;6;6) → AB × AC = 0 → точки коллинеарны, площадь 0.
По четырём точкам A, B, C, D: найти AB, AC, AD. Смешанное произведение V_пар = |(AB × AC)·AD|. Объём пирамиды V_пир = V_пар / 6. Пример: A(1;1;1), B(2;3;4), C(3;4;5), D(4;5;6) → AB=(1;2;3), AC=(2;3;4), AD=(3;4;5). Определитель равен 0 → точки в одной плоскости, объём 0.
Коллинеарность двух векторов: a × b = 0. Или: их координаты пропорциональны (a_x/b_x = a_y/b_y = a_z/b_z). Компланарность трёх векторов: (a × b)·c = 0 (смешанное произведение). Геометрически: компланарные векторы лежат в одной плоскости. Если не компланарны - образуют базис в пространстве.
Работа постоянной силы F на перемещении S: A = F·S (скалярное произведение). В координатах: F = (F_x; F_y; F_z), S = (S_x; S_y; S_z) → A = F_x·S_x + F_y·S_y + F_z·S_z. Единица: джоуль (Дж). Если A > 0 - сила совершает положительную работу, A < 0 - отрицательную (торможение). Если F ⊥ S - работа равна нулю.
Момент силы F относительно точки O: M = r × F, где r - радиус-вектор точки приложения силы из O. Модуль |M| = |r|·|F|·sin φ - характеризует вращательное действие. Если сила направлена вдоль r (φ = 0), момент равен 0. Правило правого винта: если винт вращать от r к F, его движение совпадает с M.
Первая - раскрывая определитель векторного произведения, забывают знак минус перед j. Вторая - путают объём пирамиды (делить на 6) и параллелепипеда (не делить). Третья - не проверяют порядок сомножителей: a × b = −(b × a). Четвёртая - в смешанном произведении забывают взять модуль для объёма. Пятая - путают работу (скалярное произведение) с моментом (векторное).
На выполнение ИДЗ 2.2 требуется 4–6 часов. Векторное произведение - 20–30 минут на пример. Смешанное произведение и объём - 30–40 минут. Задачи на работу и момент - 30–40 минут. Рекомендуется повторить базовые векторные операции из ИДЗ 2.1.
Векторное произведение задаёт нормальный вектор плоскости - он перпендикулярен двум направляющим векторам. В ИДЗ 3.1 этот навык используется напрямую: уравнение плоскости строится через смешанное произведение (три точки → два направляющих вектора → нормаль через векторное произведение). Смешанное произведение - условие компланарности, которое в ИДЗ 3.1 превращается в условие принадлежности точки плоскости. Так геометрия векторов переходит в координатное описание прямых и плоскостей.
Автор сборника: А.П. РябушкоИнформация актуальна на июнь 2026