Скалярное поле, Градиент, Производная по направлению, Векторное поле
Скалярное поле приписывает каждой точке пространства число (температура, потенциал). Векторное поле - вектор (скорость ветра, напряжённость электрического поля). ИДЗ 15.1 Рябушко учит работать с обеими разновидностями: находить градиент скалярного поля и производную по направлению, вычислять поток векторного поля через поверхность, дивергенцию, циркуляцию вдоль контура и ротор. Главные инструменты - теоремы Остроградского-Гаусса (связь потока через замкнутую поверхность с дивергенцией) и Стокса (связь циркуляции с ротором). Первая задача обычно - вычислить градиент и производную по направлению. Вторая - поток через поверхность. Третья - дивергенцию и ротор. Четвёртая - циркуляцию по контуру. Пятая - применить интегральные теоремы для упрощения вычислений. Теория поля завершает линию векторного анализа, начатую скалярным произведением в ИДЗ 2.1, векторным произведением в ИДЗ 2.2 и криволинейными интегралами в ИДЗ 14.1.
Градиент скалярного поля u(x,y,z): ∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z). Это вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции. Его модуль |∇u| - скорость изменения в этом направлении. Производная по направлению вектора l: ∂u/∂l = ∇u · l₀, где l₀ - единичный вектор направления. Максимальна, когда l совпадает с градиентом, равна |∇u|. Минимальна (отрицательна) в противоположном направлении. Нулевая - перпендикулярно градиенту (вдоль линии уровня). Пример: u = x² + y² - z². ∇u = (2x, 2y, -2z). В точке M(1,2,3): ∇u = (2,4,-6). Производная по направлению l = (1,1,1): l₀ = (1/√3, 1/√3, 1/√3), ∂u/∂l = 2/√3 + 4/√3 - 6/√3 = 0 - в этом направлении функция не меняется. Направление наискорейшего роста - вдоль (2,4,-6), скорость роста |∇u| = √(4+16+36) = √56 ≈ 7,48.
Поток векторного поля F = (P,Q,R) через поверхность S: Π = ∬_S F·n dS, где n - единичная нормаль к поверхности. Для поверхности, заданной явно z = f(x,y): Π = ∬_D (-P·∂f/∂x - Q·∂f/∂y + R) dx dy, где D - проекция S на Oxy. Пример: F = (x,y,z), S - часть параболоида z = x² + y², 0 ≤ z ≤ 1. n - внешняя нормаль. dS = √(1 + 4x² + 4y²) dx dy, n = (-2x, -2y, 1)/√(1 + 4x² + 4y²). F·n = (-2x² - 2y² + x² + y²)/√(...) = -(x² + y²)/√(...). Π = ∬_D -(x² + y²) dx dy = -∫_0^{2π} dφ ∫_0^1 r²·r dr = -2π·1/4 = -π/2. Для замкнутой поверхности поток можно вычислить через теорему Остроградского-Гаусса: Π = ∭_V div F dV, что часто проще прямого вычисления.
Дивергенция: div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Физический смысл - мощность источника поля в точке: div > 0 - источник, div < 0 - сток, div = 0 - поле без источников (соленоидальное). Пример: F = (x², y², z²). div F = 2x + 2y + 2z. Теорема Остроградского-Гаусса: поток векторного поля через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции по объёму V: ∯_S F·n dS = ∭_V div F dV. Пример: вычислить поток F = (x³, y³, z³) через сферу x² + y² + z² = R². div F = 3x² + 3y² + 3z² = 3r². В сферических координатах: Π = ∭_V 3r²·r² sin θ dr dθ dφ = 3·∫_0^{2π} dφ·∫_0^π sin θ dθ·∫_0^R r⁴ dr = 3·2π·2·R⁵/5 = 12πR⁵/5. Прямое вычисление через поверхностный интеграл заняло бы втрое больше времени. Теорема Остроградского-Гаусса - аналог формулы Грина из ИДЗ 14.1 для трёхмерного случая.
Ротор векторного поля F = (P,Q,R): rot F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y). Физический смысл - угловая скорость вращения жидкости в точке. Если rot F = 0 - поле безвихревое (потенциальное). Циркуляция вдоль замкнутого контура L: C = ∮_L F·dr = ∮_L P dx + Q dy + R dz. Теорема Стокса: циркуляция векторного поля по замкнутому контуру L равна потоку ротора через любую поверхность S, натянутую на L: ∮_L F·dr = ∬_S rot F·n dS. Пример: F = (-y, x, 0), L - окружность x² + y² = R² в плоскости z = 0. Прямое вычисление: C = ∮ (-y dx + x dy). Переходя к параметризации x = R cos t, y = R sin t: dx = -R sin t dt, dy = R cos t dt. C = ∫_0^{2π} ((-R sin t)(-R sin t) + (R cos t)(R cos t)) dt = R²·∫_0^{2π} dt = 2πR². Через теорему Стокса: rot F = (0, 0, 2). Поток через круг: ∬_S 2·dS = 2·πR² = 2πR² - тот же результат.
Каждый вариант ИДЗ 15.1 содержит 5 заданий. Первое - градиент скалярного поля и производная по направлению: вычислить частные производные, найти ∇u, ∂u/∂l в заданной точке. Второе - поток векторного поля через поверхность: составить F·n, взять поверхностный интеграл или применить теорему Остроградского-Гаусса для замкнутой поверхности. Третье - дивергенция: вычислить ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z, найти div F в точке. Четвёртое - циркуляция вдоль контура: параметризовать кривую, вычислить криволинейный интеграл или применить теорему Стокса. Пятое - ротор: вычислить все три компоненты rot F, найти его модуль в заданной точке, определить, является ли поле потенциальным (rot = 0). Для успешного выполнения нужно уверенно дифференцировать, брать двойные и тройные интегралы (из ИДЗ 14.1 и ИДЗ 14.2), и выбирать между прямым вычислением и применением интегральных теорем.
Уравнения Максвелла - фундамент электродинамики - записываются через дивергенцию и ротор: div D = ρ (закон Гаусса для электрического поля), div B = 0 (отсутствие магнитных монополей), rot E = -∂B/∂t (закон Фарадея), rot H = j + ∂D/∂t (закон Ампера-Максвелла). В гидродинамике: div v = 0 - условие несжимаемости жидкости, rot v - завихрённость потока. В гравитации: g = -∇φ - гравитационное поле потенциально, div g = -4πGρ - аналог закона Гаусса для гравитации. В теплопроводности: q = -k·∇T - закон Фурье, поток тепла пропорционален градиенту температуры. В механике сплошных сред: div σ - дивергенция тензора напряжений определяет силы, действующие на элемент среды. Все эти приложения начинаются с операторов ∇· (дивергенция) и ∇× (ротор), которые ИДЗ 15.1 учит вычислять.
Стоимость одного варианта ИДЗ 15.1 - 70 руб. Выбираете нужный вариант из списка на сайте, формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен для скачивания сразу после оплаты. Решение содержит: градиент и производную по направлению с вычислением направляющих косинусов; поток через заданную поверхность - как прямым вычислением, так и через теорему Остроградского-Гаусса; дивергенцию и ротор с пошаговым дифференцированием; циркуляцию вдоль контура - прямым интегрированием и через теорему Стокса; проверку поля на потенциальность. Каждый этап расписан: найдены частные производные, расставлены пределы в поверхностном и тройном интегралах, проверена применимость теорем. Если что-то осталось непонятным - напишите в Telegram @idz_support, разберём детали.
Функция u(x,y,z), задающая распределение числовой величины в пространстве. Примеры: температура, потенциал, давление.
∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z). Вектор направления наискорейшего роста. |∇u| - скорость роста в этом направлении.
∂u/∂l = ∇u·l₀. Скорость изменения скалярного поля вдоль заданного направления. Максимум - вдоль градиента.
F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)). Каждой точке сопоставлен вектор. Примеры: скорость, сила, напряжённость.
Π = ∬_S F·n dS. Количество векторных линий, проходящих через поверхность. Теорема Остроградского-Гаусса: Π = ∭_V div F dV.
div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Мощность источников поля. > 0 - источник, < 0 - сток, = 0 - соленоидальное поле.
C = ∮_L F·dr = ∮_L P dx + Q dy + R dz. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Работа силы по замкнутому пути.
rot F = ∇×F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y). Вихревая характеристика поля. = 0 - поле потенциально.
∯_S F·n dS = ∭_V div F dV. Связь потока через замкнутую поверхность с тройным интегралом от дивергенции.
∮_L F·dr = ∬_S rot F·n dS. Связь циркуляции по контуру с потоком ротора через поверхность, натянутую на контур.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.