Двойные интегралы, Повторное интегрирование, Расстановка пределов, Смена порядка интегрирования
Одномерный интеграл int f(x) dx даёт площадь под кривой. Двойной интеграл int int_D f(x,y) dx dy - объём под поверхностью над областью D. ИДЗ 14.1 Рябушко учит сводить двойной интеграл к повторному (двум последовательным одномерным), расставлять пределы по области D, менять порядок интегрирования и переходить к полярным координатам. Первая задача - вычислить int int_D f(x,y) dx dy по прямоугольной области. Вторая - по области, ограниченной кривыми, где пределы интегрирования зависят от формы. Третья - сменить порядок интегрирования. Четвёртая - перейти к полярным координатам для областей, имеющих круговую симметрию. Двойной интеграл - основа для тройных интегралов в ИДЗ 14.2.
Двойной интеграл int int_D f(x,y) dx dy вычисляют последовательным интегрированием: сначала по одной переменной, потом по другой. Если область D задана как a <= x <= b, y1(x) <= y <= y2(x), то int int_D f dx dy = int_a^b dx int_{y1(x)}^{y2(x)} f(x,y) dy. Если область проще описать через y: c <= y <= d, x1(y) <= x <= x2(y), то int int_D f dx dy = int_c^d dy int_{x1(y)}^{x2(y)} f(x,y) dx. Порядок выбирают так, чтобы пределы выражались элементарными функциями. Пример: D - треугольник с вершинами (0,0), (1,0), (0,1). Пределы: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 - x. Интеграл int_0^1 dx int_0^{1-x} f(x,y) dy. Смена порядка: 0 <= y <= 1, 0 <= x <= 1 - y.
Если область D имеет сложную форму, переходят к новым переменным u, v: x = x(u,v), y = y(u,v). Тогда dx dy = |J| du dv, где J = det [[dx/du, dx/dv], [dy/du, dy/dv]] - якобиан преобразования. Пример: переход к полярным координатам: x = r cos φ, y = r sin φ. Якобиан: J = det [[cos φ, -r sin φ], [sin φ, r cos φ]] = r(cos^2 φ + sin^2 φ) = r. Поэтому dx dy = r dr dφ. Без этого множителя r ответ будет неверным. В общем случае якобиан - определитель матрицы частных производных, который вычисляется так же, как определители в ИДЗ 1.1.
Для областей, имеющих форму круга, кольца или сектора, полярные координаты превращают криволинейные границы в прямые линии. Круг x^2 + y^2 <= R^2 в полярных: 0 <= r <= R, 0 <= φ <= 2π. Кольцо: R1 <= r <= R2. Сектор: 0 <= r <= R, φ1 <= φ <= φ2. Пример: int int_D (x^2 + y^2) dx dy, D - круг радиуса 2. В полярных: x^2 + y^2 = r^2, dx dy = r dr dφ. Интеграл: int_0^{2π} dφ int_0^2 r^2 * r dr = 2π * int_0^2 r^3 dr = 2π * 16/4 = 8π. В декартовых координатах тот же интеграл потребовал бы интегрирования по кругу с пределами ±sqrt(4 - x^2). Важно: при переходе к полярным не забывают дополнительный множитель r.
Каждый вариант ИДЗ 14.1 содержит 4 задания. Первое - вычислить двойной интеграл по прямоугольной области: расставить пределы, взять внутренний интеграл, затем внешний. Второе - вычислить интеграл по области, ограниченной кривыми: найти точки пересечения границ, правильно расставить пределы, выбрать порядок интегрирования. Третье - сменить порядок интегрирования в повторном интеграле: перерисовать область, записать её через другую переменную, переставить интегралы. Четвёртое - перейти к полярным координатам и вычислить интеграл: записать подынтегральную функцию и область в полярных, не забыть якобиан r. Для успешного выполнения нужно уверенно брать неопределённые интегралы и строить графики линий на плоскости.
Двойной интеграл - не просто вычислительный приём, а инструмент для расчёта реальных величин. Площадь плоской фигуры: S = int int_D dx dy. Объём тела: V = int int_D f(x,y) dx dy, где f(x,y) - высота над точкой (x,y). Площадь поверхности: S = int int_D sqrt(1 + (df/dx)^2 + (df/dy)^2) dx dy. Масса пластины с переменной плотностью: m = int int_D ρ(x,y) dx dy. Статические моменты: M_x = int int_D y*ρ dx dy, M_y = int int_D x*ρ dx dy. Координаты центра масс: x_c = M_y/m, y_c = M_x/m. Момент инерции: I = int int_D (x^2 + y^2)*ρ dx dy. Все эти формулы начинаются с двойного интеграла - умение его вычислять открывает доступ к прикладным задачам.
Стоимость одного варианта ИДЗ 14.1 - 60 руб. Выбираете нужный вариант из списка на сайте, формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен для скачивания сразу после оплаты. Решение содержит: вычисление двойного интеграла по прямоугольной и криволинейной области с расстановкой пределов; смену порядка интегрирования с построением области; переход к полярным координатам с якобианом; прикладные задачи на площадь, объём и центр масс. Каждый интеграл расписан по шагам: найдены точки пересечения границ, расставлены пределы, взяты внутренний и внешний интегралы. Если что-то осталось непонятным - напишите в Telegram @idz_support, разберём каждый шаг.
int int_D f(x,y) dx dy. Обобщение определённого интеграла на функцию двух переменных. Геометрический смысл - объём.
Сведение двойного интеграла к двум последовательным одномерным. Выбор порядка: сначала по x, потом по y, или наоборот.
Область D описывается неравенствами: a <= x <= b, y1(x) <= y <= y2(x) или c <= y <= d, x1(y) <= x <= x2(y).
Переход от int dx int dy к int dy int dx. Перестроение области, изменение описания границ.
x = r cos φ, y = r sin φ. Якобиан J = r. dx dy = r dr dφ. Удобны для круговых областей.
Определитель матрицы частных производных. Модуль якобиана - коэффициент растяжения площади при замене.
S = int int_D dx dy. V = int int_D f(x,y) dx dy. M = int int_D ρ(x,y) dx dy - масса пластины.
x_c = M_y/m, y_c = M_x/m. M_x = int int_D y*ρ dx dy. Момент инерции I = int int_D (x^2 + y^2)*ρ dx dy.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.