Линейные ДУ второго порядка, Характеристическое уравнение, Фундаментальная система решений, Метод подбора частного решения
Если в уравнении появляется вторая производная y'', порядок повышается до второго. ИДЗ 13.2 Рябушко посвящено линейным ДУ второго порядка: y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x). Основной случай - постоянные коэффициенты p и q. Для однородного уравнения (f(x) = 0) решение строится через характеристическое уравнение k^2 + pk + q = 0: действительные разные корни дают y = C1*e^(k1*x) + C2*e^(k2*x), кратные - y = (C1 + C2*x)*e^(k*x), комплексные - y = e^(αx)*(C1*cos(βx) + C2*sin(βx)). Для неоднородного уравнения добавляют частное решение - подбором по виду правой части или методом вариации постоянных. В отличие от ИДЗ 13.1, где все уравнения были первого порядка, здесь нужно работать с парой независимых решений.
Для уравнения y'' + py' + qy = 0 составляют характеристическое: k^2 + pk + q = 0. Дискриминант D = p^2 - 4q. Случай 1: D > 0, корни k1 ≠ k2 действительные. Фундаментальная система: y1 = e^(k1*x), y2 = e^(k2*x). Общее решение: y = C1*e^(k1*x) + C2*e^(k2*x). Случай 2: D = 0, корень k0 кратный: y = (C1 + C2*x)*e^(k0*x). Случай 3: D < 0, корни комплексные k = α ± iβ: y = e^(αx)*(C1*cos(βx) + C2*sin(βx)). Пример: y'' - 3y' + 2y = 0. k^2 - 3k + 2 = 0, k1 = 1, k2 = 2. Ответ: y = C1*e^x + C2*e^(2x). Пример: y'' + 4y = 0. k^2 + 4 = 0, k = ±2i. α = 0, β = 2. Ответ: y = C1*cos(2x) + C2*sin(2x). Те же три случая корней возникают при исследовании сходимости рядов в ИДЗ 12.1 - там роль дискриминанта играет значение L в признаке Даламбера.
Для y'' + py' + qy = f(x) общее решение = y_одн + y_част. Если f(x) имеет специальный вид, частное решение подбирают. f(x) = P_m(x)*e^(αx): y_част = x^r * Q_m(x)*e^(αx), где r - кратность α как корня характеристического, Q_m - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами. f(x) = e^(αx)*(A*cos(βx) + B*sin(βx)): y_част = x^r * e^(αx)*(M*cos(βx) + N*sin(βx)). Пример: y'' - 3y' + 2y = e^x. Корни 1 и 2, α = 1 совпадает с k1, r = 1. y_част = A*x*e^x. Подставляя, находят A. Пример: y'' + y = sin x. Корни ±i, β = 1 совпадает, r = 1. y_част = x*(M*cos x + N*sin x). Метод подбора - самый быстрый, но работает только для узкого класса f(x).
Если правая часть f(x) не подходит под метод подбора, применяют метод Лагранжа. Зная фундаментальную систему y1, y2 однородного уравнения, частное решение ищут в виде y_част = C1(x)*y1 + C2(x)*y2, где C1', C2' находят из системы: C1'*y1 + C2'*y2 = 0; C1'*y1' + C2'*y2' = f(x). Решая систему, получают C1' = -y2*f/W, C2' = y1*f/W, где W = y1*y2' - y2*y1' - определитель Вронского. Затем C1(x) и C2(x) находят интегрированием. Пример: y'' + y = 1/cos x. y1 = cos x, y2 = sin x, W = 1. C1' = -sin x/cos x, C1 = -int tg x dx = ln|cos x|. C2' = cos x/cos x = 1, C2 = x. y_част = cos x*ln|cos x| + x*sin x. Метод работает для любой непрерывной f(x).
Каждый вариант ИДЗ 13.2 содержит 4-5 заданий. Первое - однородное линейное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (составить характеристическое, найти корни, записать общее решение). Второе - неоднородное ДУ с правой частью специального вида (метод подбора с учётом резонанса). Третье - неоднородное ДУ, где метод подбора не работает (вариация постоянных). Четвёртое - ДУ, допускающее понижение порядка (нет y или нет x). Пятое - задача Коши для ДУ второго порядка (найти частное решение по начальным условиям y(0) = y0, y'(0) = y1). Для успешного выполнения нужно уметь решать квадратные уравнения, интегрировать и дифференцировать.
Уравнение y'' + 2βy' + ω0^2*y = F(t) описывает два ключевых физических объекта. В механике: пружинный маятник - масса m, коэффициент затухания β = c/(2m), собственная частота ω0 = sqrt(k/m), внешняя сила F(t). Решение: при β < ω0 - затухающие колебания, при β > ω0 - апериодический режим, при β = ω0 - критическое затухание. В электротехнике: RLC-контур - заряд q(t) удовлетворяет тому же уравнению: Lq'' + Rq' + q/C = E(t). Резонанс наступает, когда частота внешней силы совпадает с ω0 - амплитуда растёт. В ИДЗ 13.2 эти явления моделируются через подбор частного решения: если правая часть содержит sin(ωt) и ω совпадает с ω0, в решение добавляют множитель x - резонансный случай. Анализ периодических внешних воздействий через разложение в ИДЗ 12.3 позволяет представить любую периодическую силу F(t) в виде суммы гармоник и исследовать резонанс на каждой частоте.
Стоимость одного варианта ИДЗ 13.2 - 70 руб. Выбираете вариант из списка на сайте, формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен мгновенно. Решение содержит: однородное ДУ с характеристическим уравнением и разбором трёх случаев корней; неоднородное ДУ с подбором частного решения и проверкой резонанса; неоднородное ДУ методом вариации постоянных с вычислением определителя Вронского; понижение порядка (если в уравнении нет y или нет x); задачу Коши с подстановкой начальных условий. Каждое решение пошаговое: показано, как составлено характеристическое уравнение, как найдены корни, как подобрано частное решение. Если что-то непонятно - обращайтесь в Telegram @idz_support, поможем разобраться.
y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x). Постоянные коэффициенты - основной случай. Однородное и неоднородное.
k^2 + pk + q = 0. Три случая корней: действительные разные, кратные, комплексно-сопряжённые.
Два линейно независимых решения y1, y2. Определитель Вронского W = y1*y2' - y2*y1'.
Для f(x) вида P_m(x)*e^(αx) или e^(αx)*(A cos βx + B sin βx). Учёт резонанса - множитель x^r.
y_част = C1(x)*y1 + C2(x)*y2. C1' = -y2*f/W, C2' = y1*f/W. Интегрирование.
Если в уравнении нет y: замена y' = p(x). Если нет x: замена y' = p(y). Сводит к ДУ первого порядка.
Нахождение частного решения по y(0) и y'(0). Система двух уравнений для C1, C2.
Механические (пружина) и электрические (RLC) колебания. Резонанс при совпадении частот.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.