Системы ДУ, Собственные значения, Собственные векторы, Метод исключения
Когда в задаче несколько неизвестных функций, связанных между собой, возникает система ДУ. ИДЗ 13.3 Рябушко посвящено линейным системам первого порядка: x' = a11*x + a12*y + f1(t), y' = a21*x + a22*y + f2(t). В матричной форме: X' = A*X + F(t). Основной метод решения однородных систем (F = 0) - через собственные значения и собственные векторы матрицы A. Решение ищется в виде X = V*e^(λt), где λ - собственное значение, V - собственный вектор. Второй метод - метод исключения: из системы двух уравнений получают одно ДУ второго порядка для одной переменной, которое решают методами из ИДЗ 13.2.
Для системы X' = A*X (n = 2) находят собственные значения λ из det(A - λE) = 0. Это квадратное уравнение: λ^2 - tr(A)*λ + det(A) = 0. Три случая. Случай 1: λ1 ≠ λ2 действительные. Для каждого находят собственный вектор V из (A - λE)*V = 0. Общее решение: X = C1*V1*e^(λ1*t) + C2*V2*e^(λ2*t). Случай 2: λ1 = λ2 кратные. Ищут один собственный вектор V, второй - присоединённый (A - λE)*W = V. Решение: X = C1*V*e^(λt) + C2*(V*t + W)*e^(λt). Случай 3: λ = α ± iβ комплексные. Один собственный вектор V = U + iW. Решение: X = e^(αt)*(C1*(U*cos βt - W*sin βt) + C2*(U*sin βt + W*cos βt)). Пример: A = [[1, 2], [3, 2]]. λ^2 - 3λ - 4 = 0, λ1 = 4, λ2 = -1. Определитель det(A - λE) раскрывается так же, как определители в ИДЗ 1.1 - то же разложение по строке, те же алгебраические дополнения.
Альтернативный подход: из системы двух уравнений исключают одну переменную. Из первого уравнения выражают y через x и x': y = (x' - a11*x - f1(t))/a12. Подставляют во второе уравнение, получают ДУ второго порядка для x. Решают его методами из ИДЗ 13.2, затем находят y. Пример: x' = 3x + 4y, y' = 2x + y. Из первого: y = (x' - 3x)/4. Подставляя во второе: (x'' - 3x')/4 = 2x + (x' - 3x)/4. Умножая на 4: x'' - 3x' = 8x + x' - 3x, x'' - 4x' - 5x = 0. Характеристическое: k^2 - 4k - 5 = 0, k1 = 5, k2 = -1. x = C1*e^(5t) + C2*e^(-t). y = (x' - 3x)/4 = (5C1*e^(5t) - C2*e^(-t) - 3C1*e^(5t) - 3C2*e^(-t))/4 = (2C1*e^(5t) - 4C2*e^(-t))/4 = C1/2*e^(5t) - C2*e^(-t). Метод удобен для систем 2×2, но для больших размерностей предпочтительнее матричный подход.
Для неоднородной системы X' = A*X + F(t) общее решение = X_одн + X_част. Фундаментальная матрица Φ(t) составляется из линейно независимых решений однородной системы (столбцы - решения). Частное решение ищется методом вариации: X_част = Φ(t) * int Φ^(-1)(t)*F(t) dt. Пример: X' = [[0, 1], [-1, 0]]*X + [0, sin t]^T. Однородная система: λ = ±i, решения: [cos t, -sin t]^T и [sin t, cos t]^T. Φ(t) = [[cos t, sin t], [-sin t, cos t]]. Φ^(-1) = [[cos t, -sin t], [sin t, cos t]]. Φ^(-1)*F = [-sin t*sin t, cos t*sin t]^T = [-(1 - cos 2t)/2, (sin 2t)/2]^T. Интегрируя, получают X_част. Метод универсален, но требует обращения матрицы и интегрирования.
Каждый вариант ИДЗ 13.3 содержит 4 задания. Первое - однородная система двух ДУ: найти собственные значения матрицы, для каждого случая (действительные, кратные, комплексные) построить общее решение. Второе - метод исключения: свести систему к одному ДУ второго порядка, решить, найти вторую переменную. Третье - неоднородная система с правой частью специального вида (подбор частного решения). Четвёртое - задача Коши для системы: найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям x(0) = x0, y(0) = y0. Для успешного выполнения нужно уметь находить собственные значения и векторы, решать квадратные уравнения, интегрировать.
Системы ДУ описывают процессы, где переменные влияют друг на друга. В механике: два связанных пружинных маятника - колебания каждого передаются другому через пружину-связку, система из двух уравнений второго порядка. В химической кинетике: скорости реакций зависят от концентраций реагентов, система ДУ описывает изменение концентраций во времени. В экологии: модель Лотки-Вольтерры (хищник-жертва): x' = ax - bxy, y' = -cy + dxy - классическая система, демонстрирующая циклические колебания численности. В электротехнике: связанные RLC-контуры описываются системой ДУ. В экономике: модель Солоу описывает рост экономики через систему ДУ для капитала и труда. Решения систем часто ищут в виде степенных рядов - метод, основанный на разложениях из ИДЗ 12.2.
Стоимость одного варианта ИДЗ 13.3 - 70 руб. Выбираете вариант из списка на сайте, указываете PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен для скачивания сразу после оплаты. Решение содержит: нахождение собственных значений матрицы системы с разбором трёх случаев; построение общего решения через собственные векторы; метод исключения с пошаговым выводом ДУ второго порядка; неоднородную систему с подбором или вариацией; задачу Коши. Каждый шаг объяснён: как составлено характеристическое уравнение, как найден собственный вектор, как проверена линейная независимость решений. По любым вопросам - @idz_support, отвечаем в течение дня.
Несколько уравнений с несколькими неизвестными функциями. Матричная форма: X' = A*X + F(t).
Корни характеристического det(A - λE) = 0. Определяют вид решения: экспоненты, синусы, косинусы.
Векторы V, удовлетворяющие (A - λE)*V = 0. Для кратных корней - присоединённые векторы.
Выражение одной переменной через другую и её производную. Сведение к ДУ n-го порядка.
X' = A*X + F(t). Частное решение через подбор или вариацию постоянных. Фундаментальная матрица.
Нахождение частного решения по начальным условиям X(0) = X0. Система уравнений для C1, C2.
Матрица, столбцы которой - линейно независимые решения однородной системы. Φ' = A*Φ.
Траектории системы на плоскости (x, y). Типы: узел, седло, фокус, центр в зависимости от λ.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.