Тройные интегралы, Повторное интегрирование в трёхмерном случае, Расстановка пределов в тройном интеграле, Цилиндрические координаты
Двойной интеграл даёт объём под поверхностью. Тройной - массу трёхмерного тела с переменной плотностью. ИДЗ 14.2 Рябушко учит работать с тройными интегралами int int int_V f(x,y,z) dx dy dz: сводить к повторному (три последовательных интеграла), расставлять пределы по трёхмерной области V, переходить к цилиндрическим и сферическим координатам. Первая задача - вычислить интеграл по прямоугольному параллелепипеду. Вторая - по области, ограниченной поверхностями, где проекция на плоскость задаёт пределы для x и y, а z меняется от нижней до верхней границы. Третья - цилиндрические координаты (r, φ, z) для тел с осью симметрии. Четвёртая - сферические координаты (ρ, θ, φ) для шаров и конусов. Тройной интеграл завершает тему кратных интегралов, начатую в ИДЗ 14.1.
Тройной интеграл int int int_V f(x,y,z) dx dy dz сводят к повторному: сначала интегрируют по z (внутренний интеграл), затем по x и y (двойной интеграл по проекции). Область V проецируют на плоскость Oxy - получают область D. Для каждой точки (x,y) из D находят z1(x,y) и z2(x,y) - нижнюю и верхнюю границы V по z. Тогда: int int int_V f dx dy dz = int int_D dx dy int_{z1(x,y)}^{z2(x,y)} f(x,y,z) dz. Пример: V - пирамида с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Проекция на Oxy - треугольник x >= 0, y >= 0, x + y <= 1. z от 0 до 1 - x - y. Интеграл: int_0^1 dx int_0^{1-x} dy int_0^{1-x-y} f dz. Порядок интегрирования можно менять - выбирают тот, где пределы проще.
Цилиндрические координаты - это полярные на плоскости плюс z: x = r cos φ, y = r sin φ, z = z. Якобиан: J = r, поэтому dx dy dz = r dr dφ dz. Переход удобен, когда тело имеет ось симметрии (цилиндр, конус, параболоид). Пример: объём цилиндра радиуса R и высоты H: V = int_0^H dz int_0^{2π} dφ int_0^R r dr = H * 2π * R^2/2 = πR^2H. Пример: масса конуса x^2 + y^2 <= z^2, 0 <= z <= H с плотностью ρ = z. В цилиндрических: r от 0 до z, φ от 0 до 2π, z от 0 до H. m = int_0^H dz int_0^{2π} dφ int_0^z z * r dr = 2π * int_0^H z * z^2/2 dz = π * H^4/4. Цилиндрические координаты - прямое продолжение полярных из ИДЗ 14.1.
Сферические координаты: x = ρ sin θ cos φ, y = ρ sin θ sin φ, z = ρ cos θ. ρ - расстояние от начала координат, θ - угол от оси Oz, φ - угол в плоскости Oxy. Якобиан: J = ρ^2 sin θ, поэтому dx dy dz = ρ^2 sin θ dρ dθ dφ. Пример: объём шара радиуса R: V = int_0^{2π} dφ int_0^π sin θ dθ int_0^R ρ^2 dρ = 2π * 2 * R^3/3 = 4πR^3/3. Пример: масса шара радиуса R с плотностью ρ = 1/(1 + r^2): m = int_0^{2π} dφ int_0^π sin θ dθ int_0^R ρ^2/(1 + ρ^2) dρ = 4π * int_0^R (1 - 1/(1 + ρ^2)) dρ = 4π*(R - arctg R). Важно: не путать θ и φ - в разных учебниках обозначения могут меняться.
Каждый вариант ИДЗ 14.2 содержит 4 задания. Первое - тройной интеграл по прямоугольному параллелепипеду: три последовательных интеграла с постоянными пределами. Второе - по области, ограниченной поверхностями: найти проекцию, расставить пределы по z, взять двойной интеграл по проекции. Третье - цилиндрические координаты: перейти к r, φ, z, вычислить якобиан, расставить пределы. Четвёртое - сферические координаты: перейти к ρ, θ, φ, не забыть множитель ρ^2 sin θ. Для успешного выполнения нужно уметь строить проекции трёхмерных тел на плоскость и определять границы по каждой координате.
Тройной интеграл даёт прямой доступ к физическим характеристикам трёхмерных тел. Объём: V = int int int_V dx dy dz. Масса: m = int int int_V ρ(x,y,z) dx dy dz. Статические моменты: M_xy = int int int_V z*ρ dx dy dz (относительно плоскости Oxy), M_xz = int int int_V y*ρ dx dy dz, M_yz = int int int_V x*ρ dx dy dz. Центр масс: x_c = M_yz/m, y_c = M_xz/m, z_c = M_xy/m. Моменты инерции: I_z = int int int_V (x^2 + y^2)*ρ dx dy dz (относительно оси Oz). В механике: момент инерции маховика определяет его кинетическую энергию вращения. В астрофизике: момент инерции планеты зависит от распределения плотности внутри неё.
Стоимость одного варианта ИДЗ 14.2 - 50 руб. Выбираете нужный вариант из списка на сайте, формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен для скачивания сразу после оплаты. Решение содержит: тройной интеграл по прямоугольной области; интеграл по области, ограниченной поверхностями, с проекцией на плоскость; переход к цилиндрическим координатам с якобианом r; переход к сферическим координатам с якобианом ρ^2 sin θ; прикладные задачи на объём, массу и центр масс. Каждый шаг расписан: найдена проекция области, расставлены пределы, взяты три последовательных интеграла. Если остались вопросы - свяжитесь с нами через Telegram @idz_support.
int int int_V f(x,y,z) dx dy dz. Обобщение двойного интеграла на три измерения. Геометрический смысл - масса.
Сведение к трём последовательным интегралам. Сначала по z, затем по x, y. Проекция области на плоскость.
Проекция V на Oxy даёт D. z от нижней до верхней границы. Затем двойной интеграл по D.
x = r cos φ, y = r sin φ, z = z. Якобиан r. dx dy dz = r dr dφ dz. Для тел с осью симметрии.
x = ρ sin θ cos φ, y = ρ sin θ sin φ, z = ρ cos θ. Якобиан ρ^2 sin θ. Для шаров и конусов.
V = int int int_V dx dy dz. В цилиндрических: V = int r dr dφ dz. В сферических: V = int ρ^2 sin θ dρ dθ dφ.
m = int int int_V ρ dx dy dz. Статические моменты: M_xy = int z*ρ dx dy dz. x_c = M_yz/m и т.д.
I_z = int int int_V (x^2 + y^2)*ρ dx dy dz. В цилиндрических: I_z = int r^2*ρ * r dr dφ dz = int r^3*ρ dr dφ dz.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.