Дифференциальные уравнения, Уравнения с разделяющимися переменными, Однородные уравнения, Линейные уравнения
Уравнение, связывающее функцию, её производную и аргумент - дифференциальное уравнение. ИДЗ 13.1 Рябушко охватывает пять основных типов ДУ первого порядка: с разделяющимися переменными (y' = f(x)*g(y)), однородные (y' = f(y/x)), линейные (y' + P(x)y = Q(x)), уравнение Бернулли (y' + P(x)y = Q(x)*y^n) и уравнения в полных дифференциалах (Mdx + Ndy = 0). Для каждого типа - свой метод решения. Уравнение с разделяющимися переменными решается прямым интегрированием после разделения dy/f(y) = g(x)dx. Однородное сводится к разделяющемуся заменой y = t*x. Линейное решается через интегрирующий множитель. Умение распознавать тип уравнения с первого взгляда - главный навык, который формирует ИДЗ 13.1.
Уравнение y' = f(x)*g(y) решается разделением: dy/g(y) = f(x)dx, затем интегрирование обеих частей: int dy/g(y) = int f(x)dx + C. Пример: y' = 2x*y. Разделяем: dy/y = 2x dx. Интегрируем: ln|y| = x^2 + C, отсюда y = C1*e^(x^2). Важно: при делении на g(y) могут быть потеряны решения, где g(y) = 0 - их проверяют отдельно. В примере y = 0 - особое решение, которое не получается из общей формулы ни при каком C. Типичная ошибка - забыть про особые решения. Уравнения такого типа возникают в задачах радиоактивного распада, охлаждения тел и роста популяций.
Линейное уравнение y' + P(x)y = Q(x) решается методом интегрирующего множителя: находят μ = e^(int P(x) dx), тогда (μ*y)' = μ*Q(x), откуда y = (1/μ) * int μ*Q(x) dx + C/μ. Пример: y' + y/x = x. P(x) = 1/x, μ = e^(int dx/x) = e^(ln x) = x. (x*y)' = x^2, x*y = x^3/3 + C, y = x^2/3 + C/x. Уравнение Бернулли y' + P(x)y = Q(x)*y^n сводится к линейному заменой z = y^(1-n). При n = 0 получается линейное, при n = 1 - уравнение с разделяющимися переменными. Интегрирующий множитель - универсальный инструмент, который также используется для приведения уравнений в полных дифференциалах.
Уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если dM/dy = dN/dx. Тогда существует функция U(x,y), такая что dU = Mdx + Ndy, и общее решение U(x,y) = C. Функцию U восстанавливают интегрированием: U = int M dx + φ(y), где φ(y) находят из условия dU/dy = N. Или наоборот: U = int N dy + ψ(x). Пример: (2x + y)dx + (x - 2y)dy = 0. dM/dy = 1, dN/dx = 1 - условие выполнено. U = int (2x + y)dx = x^2 + xy + φ(y). dU/dy = x + φ'(y) = x - 2y, откуда φ'(y) = -2y, φ(y) = -y^2. Ответ: x^2 + xy - y^2 = C. Если условие не выполнено, уравнение может быть приведено к полному дифференциалу подбором интегрирующего множителя.
Каждый вариант ИДЗ 13.1 содержит 5 заданий, по одному на каждый тип ДУ. Первое - уравнение с разделяющимися переменными: разделить dy и dx, проинтегрировать, не забыть особые решения. Второе - однородное уравнение: проверить, что y' = f(y/x), сделать замену y = t*x, решить как разделяющееся. Третье - линейное уравнение: найти интегрирующий множитель, проинтегрировать. Четвёртое - уравнение Бернулли: свести к линейному заменой z = y^(1-n). Пятое - уравнение в полных дифференциалах: проверить условие dM/dy = dN/dx, восстановить функцию U(x,y). Для успешного выполнения нужно уверенно брать интегралы и знать, какой метод применить к каждому типу.
Дифференциальные уравнения первого порядка описывают процессы, скорость которых зависит от текущего состояния. Рост популяции: dN/dt = rN - экспоненциальный рост (решение N = N0*e^(rt)). Радиоактивный распад: dN/dt = -λN - экспоненциальное убывание (период полураспада T = ln2/λ). Закон охлаждения Ньютона: dT/dt = -k(T - T_окр) - температура тела стремится к температуре среды. Закон радиоактивного распада - уравнение с разделяющимися переменными. Рост популяции с ограничением (логистическое уравнение dN/dt = rN(1 - N/K)) - это уравнение Бернулли n = 2. RC-цепь в электротехнике: dU/dt + U/RC = 0 - линейное однородное ДУ. Для сложных правых частей решение ищут в виде степенного ряда - метод, развитый в ИДЗ 12.2.
Цена одного варианта ИДЗ 13.1 - 70 руб. Выбираете вариант из списка на сайте, указываете PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен для скачивания сразу после оплаты. Решение содержит: уравнение с разделяющимися переменными с проверкой особых решений; однородное уравнение с заменой y = t*x; линейное уравнение с интегрирующим множителем; уравнение Бернулли с понижением степени; уравнение в полных дифференциалах с проверкой условия и восстановлением U(x,y). Каждое решение расписано по шагам с пояснениями, какой интеграл берётся и почему. Решения проверены на типовые ошибки: потеря модуля при интегрировании 1/y, забытый интегрирующий множитель, неверное условие полного дифференциала. Если что-то осталось неясно - напишите в Telegram @idz_support, объясним каждый шаг.
Уравнение, связывающее функцию y(x), её производные и аргумент x. Порядок ДУ - порядок старшей производной.
y' = f(x)*g(y). Решение: dy/g(y) = f(x)dx, затем интегрирование. Особые решения при g(y) = 0.
y' = f(y/x). Замена y = t*x, t = y/x сводит к уравнению с разделяющимися переменными.
y' + P(x)y = Q(x). Интегрирующий множитель μ = e^(int P dx). Решение: y = (1/μ)*(int μ*Q dx + C).
y' + P(x)y = Q(x)*y^n. Замена z = y^(1-n) сводит к линейному. При n = 0, 1 - частные случаи.
Mdx + Ndy = 0, dM/dy = dN/dx. Решение: U(x,y) = C, где U восстанавливается интегрированием M по x.
Функция μ(x) или μ(y), после умножения на которую уравнение становится полным дифференциалом.
Нахождение частного решения, удовлетворяющего начальному условию y(x0) = y0. Подстановка в общее решение.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.