Преобразование Лапласа, Оригинал и изображение, Линейность преобразования, Теорема смещения (затухания)
Преобразование Лапласа переводит функцию-оригинал f(t) в функцию-изображение F(p) по формуле F(p) = ∫₀^∞ f(t)·e^{−pt} dt. В ИДЗ 16.1 Рябушко студенты осваивают этот переход в обе стороны: по заданному оригиналу находят изображение, по изображению восстанавливают оригинал. Операционное исчисление превращает дифференциальные уравнения в алгебраические - интегрирование заменяется умножением на p, дифференцирование - делением на p. Первая половина заданий - прямое преобразование: табличные функции (степенная tⁿ, экспонента e^{at}, sin ωt, cos ωt) и их комбинации через свойства линейности и смещения. Вторая - обратное: разложение рационального изображения на простейшие дроби и поиск оригинала по таблице. Этот подход напрямую продолжается в ИДЗ 16.2, где операторный метод применяется к решению дифференциальных уравнений.
Базовые пары оригинал-изображение: 1 → 1/p, tⁿ → n!/p^{n+1}, e^{at} → 1/(p−a), sin ωt → ω/(p²+ω²), cos ωt → p/(p²+ω²), sh ωt → ω/(p²−ω²), ch ωt → p/(p²−ω²), δ(t) → 1 (дельта-функция Дирака). Свойства преобразования: линейность L{af + bg} = aF(p) + bG(p) - позволяет разбивать сложные оригиналы на сумму простых; смещение (затухание) L{e^{at}f(t)} = F(p−a) - сдвигает аргумент изображения; запаздывание L{f(t−τ)·η(t−τ)} = e^{−pτ}F(p) - удобно для кусочно-заданных и импульсных функций; подобие L{f(at)} = (1/a)·F(p/a); дифференцирование оригинала L{f'(t)} = pF(p) − f(0) - ключевое свойство для решения ДУ; интегрирование оригинала L{∫₀ᵗ f(τ) dτ} = F(p)/p. Пример: найти изображение f(t) = 3e^{2t} − 5 sin 3t + t². По линейности: F(p) = 3·1/(p−2) − 5·3/(p²+9) + 2!/p³ = 3/(p−2) − 15/(p²+9) + 2/p³. Каждое свойство применяется к конкретному типу заданий и напрямую используется в ИДЗ 16.2.
Функция Хевисайда η(t) (единичная ступенька): равна 0 при t < 0 и 1 при t ≥ 0. Её изображение L{η(t)} = 1/p. С помощью η(t) записывают процессы, начинающиеся в произвольный момент: η(t−τ) - включение в момент τ. Теорема запаздывания: если оригинал сдвинут на τ, его изображение умножается на e^{−pτ}. Пример: f(t) = {0, t < 2; 3, t ≥ 2} = 3·η(t−2). Изображение: F(p) = 3·e^{−2p}/p. Для кусочно-линейных функций каждую часть записывают через η(t) с соответствующим сдвигом, затем преобразуют почленно. Пример: f(t) = {t, 0 ≤ t < 1; 1, t ≥ 1} = t·[η(t) − η(t−1)] + 1·η(t−1) = t·η(t) − t·η(t−1) + η(t−1). Второе слагаемое: t·η(t−1) = (t−1+1)·η(t−1) = (t−1)·η(t−1) + η(t−1). Итог: f(t) = t·η(t) − (t−1)·η(t−1). Изображение: F(p) = 1/p² − e^{−p}/p². Теорема запаздывания - основной инструмент для функций с разрывами, которые часто встречаются в радиотехнике и теории управления.
Изображение F(p) обычно имеет вид рациональной дроби Q(p)/R(p), где степень Q меньше степени R. Алгоритм восстановления оригинала: 1) разложить знаменатель на множители (линейные p−a и квадратичные p²+b² или p²−b²); 2) представить F(p) в виде суммы простейших дробей: A/(p−a), B/(p−a)ᵏ, (Cp+D)/(p²+b²), (Ep+F)/(p²+b²)ᵏ; 3) найти коэффициенты методом неопределённых коэффициентов или через вычеты; 4) для каждой дроби найти оригинал по таблице. Для кратных полюсов применяют формулу: 1/(p−a)ᵏ → t^{k−1}·e^{at}/(k−1)!. Пример: F(p) = (2p−3)/(p²−3p+2). Знаменатель: p²−3p+2 = (p−1)(p−2). Разложение: (2p−3)/((p−1)(p−2)) = A/(p−1) + B/(p−2). Умножая на общий знаменатель: 2p−3 = A(p−2) + B(p−1). При p=1: −1 = −A, A = 1. При p=2: −1 = 0 + B, B = −1. Итого: F(p) = 1/(p−1) − 1/(p−2). Оригинал: f(t) = e^{t} − e^{2t}. Разложение на дроби - навык из ИДЗ 8.3, где отрабатывается метод неопределённых коэффициентов.
Каждый вариант ИДЗ 16.1 содержит 4 задания. Первое - найти изображение по заданному оригиналу: простая комбинация табличных функций (линейная, показательная, тригонометрическая) - применяется линейность и таблица. Второе - найти изображение с использованием свойств: смещение (e^{at}f(t)), запаздывание (f(t−τ)·η(t−τ)), дифференцирование оригинала - нужно выбрать подходящее свойство и применить. Третье - найти оригинал по изображению: разложить рациональную дробь на простейшие, определить коэффициенты, восстановить оригинал по таблице. Четвёртое - найти изображение кусочно-заданной функции: записать её через функцию Хевисайда, применить теорему запаздывания и линейность. В каждом задании ответ - функция f(t) или её изображение F(p). Для успешного выполнения нужно уверенно работать с рациональными дробями (разложение, метод неопределённых коэффициентов) - эти навыки закреплены в ИДЗ 8.3.
Операционное исчисление - стандартный инженерный инструмент. В электротехнике: расчёт переходных процессов в RLC-цепях - напряжение на конденсаторе u_C(t) ищется как оригинал по операторной схеме замещения. В теории автоматического управления: передаточная функция W(p) = Y(p)/X(p) - отношение изображений выхода и входа; по ней определяют устойчивость системы, частотные характеристики, переходные процессы. Анализ переходных режимов в электроприводах, расчёт фильтров в радиотехнике, моделирование тепловых процессов - все эти задачи решаются через преобразование Лапласа. Метод позволяет заменить дифференциальное уравнение (сложно) на алгебраическое (просто), а затем найти решение как оригинал. Этот же подход - через характеристическое уравнение - применялся при решении линейных ДУ в ИДЗ 11.3, но операторный метод учитывает начальные условия автоматически.
Стоимость одного варианта ИДЗ 16.1 - 110 ₽. Выбираете нужный вариант из списка на сайте, указываете формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл сразу доступен для скачивания. Решение содержит: нахождение изображения по оригиналу с использованием таблицы и свойств; применение теоремы запаздывания для кусочно-заданных функций; обратное преобразование с разложением на простейшие дроби и определением коэффициентов; проверку результата дифференцированием или интегрированием. Каждый шаг расписан: выбрано свойство, выполнено разложение, найден оригинал. Если что-то осталось непонятным - напишите в Telegram @idz_support, разберём каждый шаг.
Интегральное преобразование, переводящее функцию f(t) в функцию F(p) = ∫₀^∞ f(t)e^{−pt} dt. Оператор L{f} = F.
Оригинал f(t) - исходная функция (t ≥ 0, не более чем экспоненциального роста). Изображение F(p) - её образ в пространстве Лапласа.
L{af + bg} = aF(p) + bG(p). Позволяет разбивать сложные оригиналы на сумму простых табличных функций.
L{e^{at}f(t)} = F(p−a). Умножение оригинала на e^{at} сдвигает аргумент изображения на a вправо.
L{f(t−τ)·η(t−τ)} = e^{−pτ}F(p). Сдвиг оригинала на τ умножает изображение на e^{−pτ}. Для кусочно-заданных функций.
Единичная ступенька: η(t) = 0 при t < 0, η(t) = 1 при t ≥ 0. Изображение: L{η(t)} = 1/p.
Восстановление оригинала f(t) по изображению F(p). Основной метод - разложение рациональной дроби на простейшие.
Представление F(p) = Q(p)/R(p) в виде суммы дробей A/(p−a)ᵏ, (Bp+C)/(p²+b²)ᵏ с последующим табличным обращением.
L{f'(t)} = pF(p) − f(0). Ключевое свойство для решения дифференциальных уравнений операторным методом в ИДЗ 16.2.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.