Дискретная случайная величина, Непрерывная случайная величина, Функция распределения, Математическое ожидание
Если ИДЗ 18.1 отвечал на вопрос «какова вероятность события?», то 18.2 идёт дальше: каждому событию сопоставляется число - случайная величина. Бросок кубика даёт дискретную величину {1,2,3,4,5,6}, рост человека - непрерывную. В ИДЗ 18.2 Рябушко нужно построить ряд распределения, найти функцию распределения и плотность, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Вторая половина заданий - работа с конкретными распределениями: биномиальным, равномерным, показательным и нормальным. Для нормального распределения применяют функцию Лапласа и правило трёх сигм. В каждом варианте 5–6 заданий: два-три на дискретные величины, два - на непрерывные, одно - на числовые характеристики. Результаты переходят в ИДЗ 19.1, где по выборке восстанавливают эти же характеристики на практике.
Дискретная случайная величина принимает конечное или счётное число значений. Её закон распределения - таблица: в верхней строке значения x₁, x₂, …, xₙ, в нижней - их вероятности p₁, p₂, …, pₙ. Условие нормировки: сумма всех pᵢ = 1. Пример: в лотерее 100 билетов, из них 1 выигрыш 500 руб, 5 выигрышей по 100 руб, остальные без выигрыша. Случайная величина X - выигрыш. Ряд: X = {500, 100, 0}, P = {0,01, 0,05, 0,94}. Функция распределения F(x) = P(X < x) - ступенчатая: F(x) = 0 при x ≤ 0, F(x) = 0,94 при 0 < x ≤ 100, F(x) = 0,99 при 100 < x ≤ 500, F(x) = 1 при x > 500. По функции распределения можно найти вероятность любого события: P(100 ≤ X < 500) = F(500) − F(100) = 0,99 − 0,94 = 0,05. Ряд распределения - основа для вычисления числовых характеристик.
Непрерывная случайная величина задаётся плотностью вероятности f(x) - неотрицательной функцией, интеграл от которой по всей оси равен 1. Функция распределения F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt. Вероятность попасть в интервал [a, b]: P(a ≤ X < b) = ∫_{a}^{b} f(x) dx = F(b) − F(a). Пример: плотность f(x) = {2x, 0 ≤ x ≤ 1; 0, иначе}. Проверка нормировки: ∫₀¹ 2x dx = [x²]₀¹ = 1. F(x) = 0 при x < 0, F(x) = ∫₀ˣ 2t dt = x² при 0 ≤ x ≤ 1, F(x) = 1 при x > 1. P(0,2 < X < 0,7) = F(0,7) − F(0,2) = 0,49 − 0,04 = 0,45. Для непрерывных величин вероятность конкретного значения P(X = a) = 0 - поэтому работают только с интервалами. Интегрирование плотности - единственное место в ИДЗ 18.2, где нужны навыки из ИДЗ 9.1.
Математическое ожидание M[X] - среднее значение, вокруг которого группируются результаты. Для дискретной: M[X] = Σ xᵢ·pᵢ. Для непрерывной: M[X] = ∫ x·f(x) dx. Дисперсия D[X] = M[X²] − (M[X])² - мера разброса. Среднеквадратическое отклонение σ = √D[X] - та же дисперсия, но в исходных единицах. Пример с лотереей: M[X] = 500·0,01 + 100·0,05 + 0·0,94 = 5 + 5 = 10 руб. M[X²] = 500²·0,01 + 100²·0,05 + 0 = 2500 + 500 = 3000. D[X] = 3000 − 10² = 2900. σ = √2900 ≈ 53,85 руб. Смысл: средний выигрыш - 10 руб, но разброс большой - 54 руб. Чем меньше дисперсия, тем «устойчивее» случайная величина. Свойства: D[c] = 0 (константа не колеблется), D[c·X] = c²·D[X], D[X + Y] = D[X] + D[Y] для независимых X,Y.
Биномиальное Bi(n,p) - число успехов в серии Бернулли, из ИДЗ 18.1. M = np, D = npq. Равномерное R(a,b) - все значения на [a,b] равновероятны. Плотность f(x) = 1/(b−a). M = (a+b)/2, D = (b−a)²/12. Показательное Exp(λ) - интервалы между случайными событиями. f(x) = λe^{−λx}, x ≥ 0. M = 1/λ, D = 1/λ². Нормальное N(a,σ) - самое важное. Плотность - колокол Гаусса, M = a, D = σ². Вероятность отклониться от a не более чем на ε: P(|X−a| < ε) = 2Φ(ε/σ), где Φ - функция Лапласа. Правило трёх сигм: P(|X−a| < 3σ) ≈ 0,997 - почти все значения лежат в радиусе 3σ от среднего. Пример: рост мужчин распределён N(176, 8) см. Вероятность роста от 168 до 184 см: P(|X−176| < 8) = 2Φ(1) ≈ 0,6826. Вероятность роста выше 192 см: P(X > 192) = 0,5 − Φ(2) ≈ 0,0228 - около 2,3%.
Если закон распределения неизвестен, а известны только M[X] и D[X], используется неравенство Чебышева: P(|X − M[X]| ≥ ε) ≤ D[X]/ε². Оно даёт верхнюю границу вероятности отклонения. Пример: M = 100, σ = 10. Вероятность, что X отклонится от 100 более чем на 30: P(|X−100| ≥ 30) ≤ 100/900 ≈ 0,111. Неравенство применимо к любому распределению - в этом его сила. Но оценка обычно грубая: для нормального распределения та же вероятность ≈ 0,0027 (по правилу трёх сигм), неравенство Чебышева даёт 0,111 - в 40 раз завышенную оценку. Неравенство Чебышева - основа закона больших чисел: среднее арифметическое n независимых величин сходится по вероятности к M[X].
Цена одного варианта ИДЗ 18.2 - 80 ₽. Выбираете вариант из списка на сайте, формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен для скачивания сразу после оплаты. Решение содержит: построение ряда распределения дискретной случайной величины с проверкой нормировки; нахождение функции распределения и плотности для непрерывной величины; вычисление M[X], D[X], σ; задачи на биномиальное, равномерное, показательное и нормальное распределения с использованием функции Лапласа; применение неравенства Чебышева с оценкой границ. Каждый этап расписан: записан интеграл или сумма, подставлены числа, дан ответ. Если остались вопросы - напишите в Telegram @idz_support, разберём решение.
Принимает конечное число значений. Задаётся рядом распределения {xᵢ, pᵢ}. Σpᵢ = 1.
Принимает любые значения из интервала. Задаётся плотностью f(x) ≥ 0. ∫f(x)dx = 1.
F(x) = P(X < x). Для дискретной - ступенчатая, для непрерывной - непрерывная. F(−∞) = 0, F(∞) = 1.
M[X] = Σxᵢpᵢ (дискретная) или ∫x·f(x)dx (непрерывная). Среднее значение случайной величины.
D[X] = M[X²] − (M[X])². σ = √D. Мера разброса значений. Чем меньше - тем стабильнее.
Bi(n,p). Число успехов в n испытаниях Бернулли. M = np, D = npq. Из ИДЗ 18.1.
R(a,b). f(x) = 1/(b−a). M = (a+b)/2, D = (b−a)²/12. Все значения на [a,b] равновероятны.
Exp(λ). f(x) = λe^{−λx}, x ≥ 0. M = 1/λ, D = 1/λ². Интервалы между случайными событиями.
N(a,σ). Плотность Гаусса. M = a, D = σ². Правило трёх сигм. Функция Лапласа Φ(x).
P(|X−M| ≥ ε) ≤ D/ε². Верхняя граница для любого распределения. Закон больших чисел.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.