Перестановки, Размещения, Сочетания, Классическая вероятность
Теория вероятностей начинается с подсчёта - сколько способов вытащить туз из колоды, сколько комбинаций цифр в кодовом замке, какова вероятность, что из трёх бросков монеты орёл выпадет ровно дважды. ИДЗ 18.1 Рябушко охватывает пять ключевых разделов: комбинаторика (перестановки, размещения, сочетания), классическая вероятность, формулы полной вероятности и Байеса, схему Бернулли и её приближения теоремами Муавра-Лапласа. Задачи строятся вокруг бытовых ситуаций - экзамены, лотереи, контроль качества, стрельба по мишеням. В каждом варианте 5–7 заданий, от простого подсчёта комбинаций до многоходовых задач с переоценкой гипотез. Тема не требует знаний из предыдущих частей Рябушко - достаточно школьной математики. После неё идёт ИДЗ 18.2, где дискретные события сменяются случайными величинами.
Комбинаторика отвечает на вопрос «сколько вариантов». Перестановки Pₙ = n! - число способов расставить n разных предметов в ряд. 5 книг на полке: 5! = 120 способов. Размещения Aₙᵏ = n!/(n−k)! - число способов выбрать k предметов из n и расставить их в определённом порядке. Выбрать 3 студентов из 20 на должности старосты, профорга и культорга: A₂₀³ = 20·19·18 = 6840. Сочетания Cₙᵏ = n!/(k!·(n−k)!) - выбор k предметов без учёта порядка. Выбрать 3 делегатов из 20 на конференцию (должности не важны): C₂₀³ = 1140. Главный ориентир: если переставить выбранные объекты - получится другой вариант? Да - размещения, нет - сочетания. Перестановки - частный случай размещений при k = n. В задачах ИДЗ 18.1 комбинаторика - не самоцель, а инструмент для подсчёта числа исходов в классической вероятности.
Классическая вероятность P = m/n - отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных. В колоде 36 карт, вероятность вытащить туза: 4/36 = 1/9. Когда событие зависит от условий, применяют формулу полной вероятности: P(A) = Σ P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ). Пример: в первом ящике 3 белых и 2 чёрных шара, во втором - 1 белый и 4 чёрных. Наугад выбирают ящик, из него - шар. Какова вероятность, что шар белый? Гипотезы H₁ = {выбран 1-й ящик}, H₂ = {выбран 2-й}. P(H₁) = P(H₂) = 0,5. P(A|H₁) = 3/5, P(A|H₂) = 1/5. P(A) = 0,5·3/5 + 0,5·1/5 = 0,4. Формула Байеса решает обратную задачу: шар оказался белым - какова вероятность, что он из первого ящика? P(H₁|A) = 0,5·3/5 / 0,4 = 0,75. Байес - ключевой метод машинного обучения: наивный байесовский классификатор построен на этой же формуле.
Схема Бернулли - это n одинаковых независимых испытаний, в каждом вероятность успеха p. Вероятность ровно k успехов: Pₙ(k) = Cₙᵏ·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Монету бросили 5 раз. Вероятность, что орёл выпадет ровно 3 раза: n = 5, k = 3, p = 0,5. P₅(3) = C₅³·0,5⁵ = 10·0,03125 = 0,3125. Если k = 0: P₅(0) = 0,5⁵ = 0,03125 - все пять раз решка. Наивероятнейшее число успехов k₀ = floor((n+1)·p): для монеты (p = 0,5) при n = 5: k₀ = 2 или 3. Формула Бернулли точна, но при n > 20 факториалы становятся огромными - на помощь приходят теоремы Муавра-Лапласа. Важно: схема Бернулли требует независимости испытаний и постоянства p - если шары извлекают без возвращения, это уже не Бернулли.
При n ≥ 20 прямое вычисление по Бернулли технически сложно. Локальная теорема: Pₙ(k) ≈ (1/√(npq))·φ(x), где x = (k − np)/√(npq), q = 1 − p, φ(x) = e^{−x²/2}/√(2π) - функция Гаусса. Интегральная теорема: вероятность, что число успехов попадёт в интервал [k₁, k₂]: P(k₁ ≤ k ≤ k₂) ≈ Φ(x₂) − Φ(x₁), где Φ(x) - функция Лапласа (интеграл от φ). Пример: монету бросили 100 раз. Найти вероятность, что орёл выпадет от 45 до 55 раз. n = 100, p = 0,5, np = 50, √(npq) = 5. x₁ = (45 − 50)/5 = −1, x₂ = (55 − 50)/5 = 1. Φ(1) − Φ(−1) = 0,3413·2 = 0,6826. Вероятность ≈ 68%. На практике используют таблицы функции Лапласа - они есть в любом учебнике. Погрешность приближения не превышает 1% при n ≥ 30.
Формула Байеса - основа спам-фильтрации: письмо с определённым набором слов - событие A, гипотеза H₁ = «спам», H₂ = «не спам». Фильтр пересчитывает вероятности после каждого слова. В медицине: тест на редкую болезнь даёт 5% ложно-положительных результатов. Если болезнь встречается у 1% населения - положительный тест всё равно даёт лишь ~17% вероятности реальной болезни (классическая задача Байеса). В страховании: актуарные расчёты - чистая схема Бернулли с большими n. В контроле качества: вероятность брака в партии, план выборочного контроля. В социологии: опросы и доверительные интервалы - интегральная теорема Муавра-Лапласа. Все эти приложения вырастают из одной формулы P = m/n и умения правильно подсчитать m.
Цена одного варианта ИДЗ 18.1 - 90 ₽. Выбираете вариант из списка на сайте, формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен для скачивания сразу после оплаты. Решение содержит: комбинаторные задачи с перестановками, размещениями и сочетаниями; задачи на классическую вероятность с подробным подсчётом исходов; формулу полной вероятности с выделением гипотез и проверкой условия нормировки; формулу Байеса с пошаговым пересчётом вероятностей; схему Бернулли с вычислением Pₙ(k) и наивероятнейшего числа; применение локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа с таблицей функции Лапласа. Каждый шаг расписан: выделены гипотезы, подставлены числа, дан ответ. Если остались вопросы - напишите в Telegram @idz_support, разберём решение.
Pₙ = n! Число способов упорядочить n различных объектов. Порядок важен.
Aₙᵏ = n!/(n−k)!. Выбор и упорядочивание k элементов из n. Порядок важен.
Cₙᵏ = n!/(k!·(n−k)!). Выбор k элементов из n без учёта порядка.
P(A) = m/n. Отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных.
P(A) = Σ P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ). Событие может произойти при одном из нескольких условий (гипотез).
P(Hᵢ|A) = P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ) / P(A). Переоценка вероятностей гипотез после наступления события.
Pₙ(k) = Cₙᵏ·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ. Вероятность ровно k успехов в n независимых испытаниях.
k₀ = floor((n+1)·p). Число успехов, имеющее максимальную вероятность.
Приближение Бернулли при n ≥ 20: локальная (через φ(x)) и интегральная (через Φ(x)).
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.