Вариационный ряд, Интервальная группировка, Гистограмма, Эмпирическая функция распределения
Теория вероятностей работает с идеальными моделями - нормальное распределение N(a,σ), биномиальное Bi(n,p). Реальность даёт набор чисел: рост 50 случайных студентов, вес 100 деталей с конвейера, время безотказной работы 30 приборов. ИДЗ 19.1 Рябушко - мост между теорией и практикой: по выборке нужно оценить параметры распределения, построить гистограмму, проверить гипотезу о том, что данные подчиняются нормальному закону, и построить доверительные интервалы. В каждом варианте - одна выборка объёмом n = 30–100, с которой выполняются все операции: группировка в интервалы, расчёт частот, вычисление выборочного среднего и дисперсии, проверка нормальности по критерию Пирсона χ², построение доверительных интервалов для M и σ. Без навыков из ИДЗ 18.2 здесь не обойтись - нормальное распределение и функция Лапласа используются напрямую.
Первое, что делают с выборкой - упорядочивают: от минимального к максимальному. Получается вариационный ряд. Размах R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ. Затем данные группируют в k интервалов одинаковой длины h = R/k (число интервалов k ≈ √n или по формуле Стерджесса k = 1 + 3,322·lg n). Для каждого интервала считают частоту mᵢ - сколько значений попало. Гистограмма - столбчатая диаграмма: ширина столбика h, высота - относительная частота/h (плотность). Площадь гистограммы = 1 - она аналог плотности распределения. Эмпирическая функция распределения F*(x) = nₓ/n, где nₓ - число элементов выборки меньше x. При n → ∞ F*(x) стремится к теоретической F(x). Пример: выборка объёмом n = 50 имеет 7 интервалов; если в первый интервал попало 3 значения, то плотность = (3/50)/h. Гистограмма наглядно показывает, похожа ли форма распределения на нормальную - если столбики образуют колокол, гипотеза о нормальности правдоподобна.
По сгруппированным данным вычисляют числовые характеристики - это выборочные аналоги M[X] и D[X] из ИДЗ 18.2. Выборочное среднее: x̄ = (1/n)·Σ xᵢ·mᵢ, где xᵢ - середина i-го интервала. Выборочная дисперсия: Dв = (1/n)·Σ (xᵢ − x̄)²·mᵢ. Но Dв - смещённая оценка: в среднем она меньше истинной дисперсии. Исправленная дисперсия S² = (n/(n−1))·Dв - несмещённая. Соответственно исправленное СКО: S = √S². Пример: для выборки n = 50 с x̄ = 12,5 и Dв = 4,0 исправленная дисперсия S² = 50/49·4,0 ≈ 4,082, S ≈ 2,021. Разница небольшая, но при n = 10 она существенна: 10/9·Dв = 1,111·Dв. Метод произведений - способ упростить расчёт для сгруппированных данных: вводят условные варианты uᵢ = (xᵢ − C)/h, где C - середина центрального интервала. Тогда x̄ = C + h·ū, Dв = h²·(ū² − (ū)²).
Гипотеза H₀: выборка извлечена из нормального распределения N(a,σ). В качестве a и σ берут x̄ и S. Для каждого интервала находят теоретические вероятности pᵢ = Φ((xᵢ₊₁ − x̄)/S) − Φ((xᵢ − x̄)/S) - по функции Лапласа. Теоретические частоты: n·pᵢ. Наблюдаемое значение χ²набл = Σ (mᵢ − n·pᵢ)²/(n·pᵢ). Число степеней свободы: k − 3 (k интервалов минус три параметра: объём, среднее, дисперсия). По таблице χ²-распределения находят критическое значение χ²крит для уровня значимости α = 0,05. Если χ²набл < χ²крит - гипотеза о нормальности не отвергается. Пример: k = 8, df = 5, χ²крит = 11,07. Если χ²набл = 6,23 - данные согласуются с нормальным распределением. Если χ²набл = 14,8 - гипотеза отвергается, распределение не нормально. Важно: в интервалах с n·pᵢ < 5 их объединяют с соседними - критерий Пирсона неустойчив при малых частотах.
Точечная оценка x̄ - одно число, малополезное без указания точности. Доверительный интервал для M[X] при известном σ: x̄ ± t·σ/√n, где t - квантиль нормального распределения (t = 1,96 для 95% доверия). Но σ обычно неизвестен - вместо него берут S и используют распределение Стьюдента: x̄ ± t(α, n−1)·S/√n. Пример: n = 25, x̄ = 50, S = 4. Для 95% доверия t(0,05; 24) = 2,064. Интервал: 50 ± 2,064·4/√25 = 50 ± 1,651, то есть [48,35; 51,65]. Доверительный интервал для σ: (S·√(n−1))/√χ²(α/2, n−1) до (S·√(n−1))/√χ²(1−α/2, n−1). Смысл: если взять 100 разных выборок и построить 100 интервалов, 95 из них накроют истинное M. В ИДЗ 19.1 требуется построить оба интервала - для среднего и для СКО.
Любое исследование работает с выборкой, а выводы делает обо всей совокупности. Контроль качества: проверили 50 деталей из партии 10000 - какой процент брака? Социологический опрос: 1000 респондентов - какие выводы о мнении всех жителей города? Медицина: испытание препарата на 30 пациентах - эффективен ли он для всей популяции? Во всех этих задачах - одни и те же статистические инструменты: выборочное среднее, дисперсия, доверительные интервалы, проверка гипотез. Критерий Пирсона χ² - не только про нормальность: он применяется для проверки независимости признаков (таблицы сопряжённости), согласия с любым теоретическим распределением, однородности нескольких выборок. ИДЗ 19.1 даёт базовый набор, который в ИДЗ 19.2 дополняется корреляцией и регрессией.
Цена одного варианта ИДЗ 19.1 - 100 ₽. Выбираете вариант из списка на сайте, формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен для скачивания сразу после оплаты. Решение содержит: построение вариационного ряда и интервальной группировки с расчётом h и k; гистограмму относительных частот с пояснением формы распределения; эмпирическую функцию распределения с графиком; вычисление x̄ и Dв прямым методом и методом произведений; исправленную дисперсию S² и СКО; проверку гипотезы о нормальности по χ² Пирсона с расчётом теоретических частот через Φ(x); доверительные интервалы для M[X] (по Стьюденту) и для σ (по χ²). Каждый этап расписан: формулы, подстановка чисел, вывод. Если остались вопросы - напишите в Telegram @idz_support, разберём решение.
Упорядоченные по возрастанию элементы выборки. Размах R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ.
Разбиение на k интервалов длины h. k ≈ √n. Частота mᵢ - число значений в интервале.
Столбчатая диаграмма плотности относительных частот. Аналог плотности распределения.
F*(x) = nₓ/n. Доля элементов выборки, меньших x. Стремится к теоретической F(x) при n → ∞.
x̄ = (1/n)·Σxᵢ. Оценка M[X]. Несмещённая, состоятельная.
Dв = (1/n)·Σ(xᵢ−x̄)² - смещена. S² = (n/(n−1))·Dв - несмещённая оценка D[X].
Упрощение расчёта x̄ и Dв через условные варианты uᵢ = (xᵢ − C)/h. x̄ = C + h·ū, Dв = h²·(ū² − ū²).
Проверка гипотезы о виде распределения. χ² = Σ(mᵢ − npᵢ)²/(npᵢ). Сравнение с критическим значением.
x̄ ± t·S/√n по распределению Стьюдента. Интервал накрывает M с заданной надёжностью.
Через распределение χ²: S·√(n−1)/√χ²(α/2). Интервал для истинного СКО.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.