Корреляционная таблица, Условные варианты, Выборочный коэффициент корреляции, Шкала Чеддока
Рост и вес, стаж и зарплата, температура и давление - в реальности величины редко бывают независимы. ИДЗ 19.2 Рябушко учит измерять эту зависимость количественно. По корреляционной таблице нужно найти выборочный коэффициент корреляции rᵥ - число от −1 до 1, показывающее силу и направление линейной связи. Затем построить уравнение прямой регрессии y = ρₓ·(σᵧ/σₓ)·(x − x̄) + ȳ - по нему можно предсказать y по известному x. В каждом варианте - одна корреляционная таблица объёмом n = 50–150, сгруппированная по интервалам обеих переменных. Задачи: вычислить условные варианты, найти x̄, ȳ, σₓ, σᵧ, коэффициент корреляции, составить уравнение регрессии, построить эмпирическую линию регрессии. Это завершающее ИДЗ четвёртой части - оно собирает всё: вычисления из ИДЗ 19.1, случайные величины из ИДЗ 18.2 и вероятностную логику из ИДЗ 18.1.
Исходные данные - n пар (xᵢ, yᵢ). Их группируют: каждую переменную разбивают на интервалы и считают, сколько пар попало в каждую клетку - получается корреляционная таблица размером kₓ × kᵧ. Пример: по росту (X) и весу (Y) обследовано 100 человек. Рост разбит на 5 интервалов, вес - на 4. На пересечении «рост 170–175, вес 65–70» стоит число - частота nᵢⱼ. По строкам - распределение веса при фиксированном росте. По столбцам - распределение роста при фиксированном весе. Сумма всех частот = n. Таблица позволяет увидеть тенденцию: если с ростом X частоты смещаются в сторону больших Y - связь положительная. Если разброс случайный - связи нет. Для упрощения расчётов вводят условные варианты: uᵢ = (xᵢ − Cₓ)/hₓ, vⱼ = (yⱼ − Cᵧ)/hᵧ - центры интервалов заменяются целыми числами, что кратно упрощает арифметику.
Коэффициент корреляции rᵥ измеряет линейную связь между X и Y. rᵥ = (Σ nᵢⱼ·(xᵢ − x̄)·(yⱼ − ȳ)) / (n·σₓ·σᵧ). На практике считают через условные варианты: находят ū, v̄, ū², v̄², ū·v. Формула: rᵥ = (ū·v − ū·v̄) / √((ū² − ū²)·(v̄² − v̄²)). rᵥ > 0 - связь прямая (больше X → больше Y), rᵥ < 0 - обратная. Чем ближе |rᵥ| к 1, тем теснее связь. Правило Чеддока: |rᵥ| < 0,3 - слабая; 0,3–0,5 - умеренная; 0,5–0,7 - заметная; 0,7–0,9 - высокая; > 0,9 - очень высокая. Пример: rᵥ = 0,85 - сильная положительная связь. rᵥ = −0,23 - слабая отрицательная. rᵥ = 0 - линейной связи нет (но нелинейная может быть). Направление: знак rᵥ совпадает со знаком ковариации.
Если rᵥ ≠ 0, имеет смысл строить регрессионную модель - уравнение, позволяющее предсказать Y по X. Прямая регрессии Y на X: ȳₓ − ȳ = rᵥ·(σᵧ/σₓ)·(x − x̄). Коэффициент регрессии ρ = rᵥ·σᵧ/σₓ показывает, на сколько единиц изменится Y при увеличении X на 1. Пример: σₓ = 2, σᵧ = 3, rᵥ = 0,8. ρ = 0,8·3/2 = 1,2. Если x̄ = 10, ȳ = 20, то уравнение: ȳₓ − 20 = 1,2·(x − 10), то есть ȳₓ = 1,2x + 8. Если x = 15, то предсказанный y = 1,2·15 + 8 = 26. Если x = 8, то y = 1,2·8 + 8 = 17,6. Эмпирическая линия регрессии - ломаная, соединяющая средние значения Y для каждого интервала X. Если она близка к прямой - линейная модель адекватна. В ИДЗ 19.2 строят оба варианта - прямую регрессии и эмпирическую линию - и сравнивают их.
В отличие от других ИДЗ четвёртой части, 19.2 содержит одно сквозное задание - полный корреляционный анализ одной таблицы. Этап 1: перейти к условным вариантам u, v - найти Cₓ, Cᵧ, hₓ, hᵧ, заполнить таблицу в условных единицах. Этап 2: вычислить ū, v̄, ū², v̄², ū·v, σᵤ, σᵥ. Этап 3: найти выборочный коэффициент корреляции rᵥ и интерпретировать его (слабая/сильная связь). Этап 4: составить уравнение прямой регрессии Y на X в условных вариантах и перейти к исходным единицам измерения. Этап 5: вычислить условные средние Y для каждого X (эмпирическую линию регрессии), нанести их на график вместе с прямой - сделать вывод об адекватности линейной модели. Все пять этапов опираются на арифметику и таблицу - никаких интегралов, только аккуратность в расчётах.
Высокий коэффициент корреляции (rᵥ = 0,95) не означает, что X вызывает Y. Пример: число проданных мороженого и число утопленников положительно коррелируют - оба зависят от температуры воздуха (скрытая переменная). В экономике: расходы на рекламу и продажи коррелируют - но возможно, компания тратит больше на рекламу именно в сезоны высоких продаж. В ИДЗ 19.2 изучается математическая сторона - как найти rᵥ и построить регрессию. Интерпретация - вопрос содержательный. Но сам инструмент (корреляционный анализ) применяется везде: в маркетинге - связь цены и спроса, в метеорологии - связь давления и осадков, в финансах - корреляция доходностей акций, в генетике - связь генотипа и фенотипа. Во всех этих областях начинают с того же, что в ИДЗ 19.2 - с корреляционной таблицы и коэффициента корреляции.
Цена одного варианта ИДЗ 19.2 - 100 ₽. Выбираете вариант из списка на сайте, формат PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл доступен для скачивания сразу после оплаты. Решение содержит: заполнение корреляционной таблицы с переходом к условным вариантам; вычисление ū, v̄, σᵤ, σᵥ; выборочный коэффициент корреляции rᵥ с интерпретацией по шкале Чеддока; уравнение прямой регрессии Y на X в исходных единицах; эмпирическую линию регрессии (условные средние) с анализом линейности. Все промежуточные суммы и произведения расписаны: Σnᵢⱼ, Σnᵢⱼ·uᵢ, Σnᵢⱼ·vⱼ, Σnᵢⱼ·uᵢ·vⱼ - ни один шаг не пропущен. Если остались вопросы - напишите в Telegram @idz_support, разберём решение.
Таблица частот nᵢⱼ для интервалов X и Y. Показывает совместное распределение двух величин.
uᵢ = (xᵢ − Cₓ)/hₓ, vⱼ = (yⱼ − Cᵧ)/hᵧ. Перевод в целые числа для упрощения расчётов.
rᵥ ∈ [−1,1]. Мера линейной связи. rᵥ = (ū·v − ū·v̄)/(σᵤ·σᵥ).
|r| < 0,3 - слабая; 0,3–0,5 - умеренная; 0,5–0,7 - заметная; 0,7–0,9 - высокая; ≥ 0,9 - очень высокая.
ȳₓ − ȳ = rᵥ·(σᵧ/σₓ)·(x − x̄). Коэффициент регрессии ρ = rᵥ·σᵧ/σₓ.
ρ = rᵥ·σᵧ/σₓ. Показывает, на сколько единиц меняется Y при росте X на 1.
Ломаная, соединяющая средние Y для каждого интервала X. Сравнение с прямой проверяет линейность.
Среднее значение Y для фиксированного интервала X: ȳₓⱼ = (1/mₓⱼ)·Σ nᵢⱼ·yᵢ.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.