Первообразная и неопределённый интеграл, Таблица интегралов, Метод подстановки, Интегрирование по частям
Контрольная работа «Неопред. интегралы» посвящена нахождению первообразных - операции, обратной дифференцированию. Если производная дробит функцию, то интеграл восстанавливает её из производной. Основная задача - по заданной f(x) найти F(x), такую что F'(x) = f(x). В отличие от дифференцирования, где есть жёсткий алгоритм, интегрирование требует узнавания типа подынтегрального выражения и выбора подходящего метода. Умение интегрировать - ключ к решению дифференциальных уравнений в ИДЗ 11.3 и вычислению площадей и объёмов.
Базовый набор первообразных для контрольной: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫dx/x = ln|x| + C; ∫e^x dx = e^x + C; ∫a^x dx = a^x/ln a + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫dx/cos²x = tg x + C; ∫dx/sin²x = −ctg x + C; ∫dx/(1 + x²) = arctg x + C; ∫dx/√(1 − x²) = arcsin x + C. Правила: ∫(f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx; ∫k·f dx = k·∫f dx. Интегрирование - подбор первообразной, проверяемой дифференцированием: (F(x) + C)' = f(x).
Метод замены переменной - аналог правила цепочки для интегралов: ∫f(g(x))·g'(x) dx = ∫f(t) dt, где t = g(x). Алгоритм: выбрать замену t = g(x), выразить dx = dt/g'(x), подставить в интеграл, вычислить по t, вернуться к x. Типовые замены: для sin(ax + b) → t = ax + b; для x·sin(x²) → t = x²; для e^x / (1 + e^x) → t = 1 + e^x; для √(x + 1) / x → t = √(x + 1). Каждая замена преобразует сложный интеграл в табличный. Умение подбирать замену - главный навык, проверяемый в контрольной.
Метод интегрирования по частям применяется, когда подынтегральное выражение - произведение двух функций разных классов. Формула: ∫u·dv = u·v − ∫v·du. Выбор u и dv: u берут ту функцию, которая упрощается при дифференцировании (многочлен, логарифм, арктангенс), dv - оставшуюся часть (экспонента, тригонометрическая). Типовые пары: ∫x·e^x dx (u = x, dv = e^x dx); ∫x·sin x dx (u = x, dv = sin x dx); ∫ln x dx (u = ln x, dv = dx); ∫x·ln x dx (u = ln x, dv = x dx); ∫e^x·sin x dx (двукратное применение).
Интеграл от рациональной дроби P(x)/Q(x) берётся разложением на простейшие. Этапы: если степень числителя ≥ степени знаменателя - выделить целую часть делением; разложить знаменатель на множители; представить дробь как сумму простейших дробей вида A/(x − a), B/(x − a)^k, (Cx + D)/(x² + px + q); найти коэффициенты A, B, C, D методом неопределённых коэффициентов; проинтегрировать каждое слагаемое по таблице. Для квадратичных множителей (x² + px + q) - выделение полного квадрата и сведение к arctg или ln.
Интеграл восстанавливает функцию по её производной. В физике: работа переменной силы A = ∫F(x) dx; пройденный путь по скорости s(t) = ∫v(t) dt; заряд конденсатора по току q(t) = ∫i(t) dt. В экономике: общий доход по предельной выручке TR(Q) = ∫MR(Q) dQ. В теории вероятностей: функция распределения как интеграл плотности F(x) = ∫f(t) dt. В геометрии: площадь криволинейной трапеции S = ∫f(x) dx - основа для ИДЗ 5.2.
Цена - 90 ₽ за вариант. Выбираете вариант из списка на сайте, указываете PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл готов к скачиванию. Каждое решение включает: применение таблицы интегралов, замену переменной, интегрирование по частям, разложение рациональных дробей и интегрирование тригонометрических выражений. Оформление соответствует стандартам - решения принимаются преподавателями без доработок. Если что-то осталось неясно, свяжитесь с нами через Telegram - @idz_support, объясним каждый шаг.
Функция F(x) называется первообразной для f(x), если F'(x) = f(x). Неопределённый интеграл - множество всех первообразных: ∫f(x) dx = F(x) + C.
Основные интегралы: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические. Проверка дифференцированием.
Замена переменной t = g(x) с переходом к dt = g'(x) dx. Сводит сложный интеграл к табличному. Универсальный метод для 60 % задач.
Формула ∫u·dv = u·v − ∫v·du. Применяется к произведению функций разных классов: многочлен на экспоненту, логарифм, арктангенс, тригонометрическую.
Разложение правильной дроби на сумму простейших. Метод неопределённых коэффициентов. Выделение целой части для неправильных дробей.
Универсальная подстановка t = tg(x/2), замена sin²x + cos²x = 1, формулы понижения степени, преобразование произведения в сумму.
Замена t = √(ax + b), t = √(ax + b)/√(cx + d), тригонометрические подстановки для √(a² − x²), √(a² + x²), √(x² − a²).
Преобразование квадратного трёхчлена ax² + bx + c к виду A(x + p)² + q для сведения к интегралам от arctg или ln.
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Связь неопределённого и определённого интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции.
Площадь между кривыми, длина дуги, объём тела вращения, работа переменной силы, пройденный путь по скорости, заряд по току.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.