Дифференциальные уравнения первого порядка, Уравнения с разделяющимися переменными, Однородные уравнения первого порядка, Линейные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение связывает функцию, её аргумент и производные - и в контрольной работе проверяется умение решать такие уравнения стандартными методами. Начинается всё с уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных, линейных. Затем - уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Каждый тип требует своего алгоритма, и задача студента - распознать тип и применить правильный метод. Приобретённые навыки напрямую используются в ИДЗ 11.4, где системы дифференциальных уравнений решаются операционным методом.
Простейший класс ДУ - уравнения вида y' = f(x)·g(y). Решение: переписать y' как dy/dx, разделить переменные: dy/g(y) = f(x) dx, проинтегрировать обе части: ∫dy/g(y) = ∫f(x) dx + C. Пример: y' = 2x·y → dy/y = 2x dx → ln|y| = x² + C → y = C·e^(x²). Разделение переменных - базовый приём, к которому сводятся многие более сложные уравнения после подстановки. В контрольной встречается 2–3 таких примера, включая уравнения с начальными условиями (задача Коши), где константа C находится из y(x₀) = y₀.
Линейное ДУ первого порядка: y' + p(x)·y = q(x). Два метода решения. Метод Бернулли: ищут y = u·v, где u - решение однородного уравнения u' + p·u = 0, а v находят из u·v' = q. Метод вариации постоянной: сначала решают однородное y' + p·y = 0 → y₀ = C·e^(−∫p dx), затем полагают C = C(x) и подставляют в исходное, находя C(x) = ∫q·e^(∫p dx) dx. Оба метода дают один результат: y = e^(−∫p dx)·(∫q·e^(∫p dx) dx + C). Линейные уравнения - обязательный элемент контрольной, часто в паре с задачей Коши.
Однородное ДУ: y' = f(y/x). Опознаётся по тому, что правая часть зависит только от отношения y/x. Замена y = t·x, y' = t + x·t' сводит его к уравнению с разделяющимися переменными относительно t. Пример: xy' = y + x·e^(y/x) → y' = y/x + e^(y/x). Подстановка y = t·x даёт t + x·t' = t + e^t → x·t' = e^t → dt/e^t = dx/x → −e^(−t) = ln|x| + C → возврат к y: e^(−y/x) = −ln|x| + C. Этот тип уравнений проверяет умение распознавать структуру и выполнять замену.
Линейные ДУ второго порядка: y'' + py' + qy = f(x). Решение состоит из суммы общего решения однородного (y₀) и частного решения неоднородного (y_ch). Однородное: составляют характеристическое уравнение k² + pk + q = 0. Корни k₁, k₂ определяют y₀: вещественные разные → y₀ = C₁·e^(k₁x) + C₂·e^(k₂x); кратные → y₀ = (C₁ + C₂x)·e^(kx); комплексные → y₀ = e^(αx)·(C₁·cos βx + C₂·sin βx). Частное решение y_ch ищется методом подбора (неопределённых коэффициентов) по виду правой части f(x). Этот раздел - вершина контрольной, объединяющая все предыдущие навыки.
Дифференциальные уравнения описывают эволюцию систем во времени. Закон радиоактивного распада: dN/dt = −λN → N(t) = N₀·e^(−λt). Механические колебания: mx'' + cx' + kx = 0 - уравнение второго порядка, решение которого даёт затухающие или незатухающие колебания в зависимости от корней характеристического уравнения. Электрический RLC-контур: L·q'' + R·q' + q/C = E(t) - полный аналог механической системы. Логистический рост популяции: dP/dt = rP(1 − P/K) - нелинейное уравнение, сводящееся к разделяющимся переменным. Без методов из контрольной невозможно моделирование в ИДЗ 11.3.
Стоимость одного варианта контрольной «Дифф. уравнения» - 90 ₽. Выбираете вариант из списка на сайте, указываете PDF или Word, оплачиваете картой, СБП или криптовалютой - файл сразу доступен для скачивания. Решение содержит: уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные первого порядка, уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (с подбором частного решения), а также задачу Коши. Каждый шаг расписан - от определения типа до подстановки начальных условий. Если сомневаетесь в выборе варианта или нужна консультация, напишите в Telegram - @idz_support, поможем разобраться.
Уравнения вида F(x, y, y') = 0. Основные типы: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли. Решение - функция y(x), удовлетворяющая уравнению.
y' = f(x)·g(y). Решение разделением переменных: dy/g(y) = f(x) dx, интегрирование обеих частей. Простейший тип ДУ, база для более сложных методов.
y' = f(y/x). Замена y = t·x сводит к уравнению с разделяющимися переменными. Распознаётся по структуре правой части, зависящей только от y/x.
y' + p(x)·y = q(x). Методы: Бернулли (подстановка y = uv) и вариация постоянной (C = C(x)). Общее решение через интегрирующий множитель.
y' + p(x)·y = q(x)·y^n. Сводится к линейному заменой z = y^(1 − n). Переходный тип между линейными и нелинейными уравнениями.
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 при ∂M/∂y = ∂N/∂x. Решение - функция u(x, y) = C, полный дифференциал которой совпадает с левой частью.
y'' + p(x)·y' + q(x)·y = f(x). С постоянными коэффициентами - основная тема: однородное (характеристическое уравнение) и частное решение (метод подбора).
Нахождение частного решения ДУ, удовлетворяющего начальным условиям y(x₀) = y₀, y'(x₀) = y'₀. Константы интегрирования определяются из начальных данных.
Подбор частного решения y_ch для неоднородных ДУ второго порядка по виду правой части f(x). Для многочленов, экспонент, sin/cos и их комбинаций.
Радиоактивный распад, механические колебания, RLC-контуры, логистический рост, охлаждение тел (закон Ньютона), моделирование динамики популяций.
Последнее обновление: 16 августа 2026 г.